一道数学抛物线的题一直过坐标原点的两条互相垂直的直线与抛物线y=ax^2（a>0）分别交于A、B两点.（1）求弦AB的中

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 12:01:02

一道数学抛物线的题
一直过坐标原点的两条互相垂直的直线与抛物线y=ax^2（a>0）分别交于A、B两点.
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程
（2）证明AB恒过一个定点,并求出其坐标

设两条直线的斜率为k 及 -1/k
A点：(x1,y1)
B点：(x2,y2)
AB中点m的坐标为(x,y)
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
依题意有：
y1=a(x1)² (1)
y2=a(x2)² (2)
y1=kx1 (3)
y2=-x2/k (4)
显然 AB 皆不是原点没有除0的问题
(1)*(2) 与（3）*(4) 比较得到：
x1x2=-1/a² (5)
2y=(y1+y2)=a[(x1+x2)²-2x1x2]=4x²+2/a²
所以 m 的轨迹方程为 y= 2x²+1/a²
由(1)(3) 知：x1=k/a y1=k²/a
由(2)(4) 知：x2=-1/ak y2=1/(ak²)
AB连线方程为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)
即：(y-y1)/(x-x1)=-(1/k²-k²)/ (1/k+k) =k-1/k
y-k²/a=(k-1/k)(x-k/a)
y=(k-1/k)x+1/a
定点意味着与k无关这只能是x=0时才能实现
所以所求定点为 (0,1/a)

一道数学抛物线的题一直过坐标原点的两条互相垂直的直线与抛物线y=ax^2（a>0）分别交于A、B两点.（1）求弦AB的中过抛物线y^2=6x的顶点作相互垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求AB中点的轨迹方程过抛物线y^2=6x的顶点作相互垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求AB中点的轨迹方程, 过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与这条抛物线交于A.B两点,O为坐标原点过抛物线y²=6x的顶点作互相垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB中点的轨迹方程. 过抛物线y²=6x的顶点做互相垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB中点的轨迹方程直线AB过x轴上一点A(2,0),且与抛物线Y=aX^2相交于B,C两点,B点坐标为（1,1）求直线AB和抛物线的解析式如图,过抛物线y^2=4x的焦点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点A,B,求|AB|+|CD|的最小值过抛物线Y方=6X的顶点作互相垂直的两条直线,交抛物线于AB两点,求线段AB中点的轨迹方程? 已知抛物线y^2=2px（p>0）,过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,求证：已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A、B两点,以炫AB为直径的圆恒过坐标原点O.求抛物线已知过点p（0,2）的直线l与抛物线y∧2=4x交于a,b两点,o为坐标原点.