如图,抛物线y=mx²-2mx-3m(m＞0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 01:35:43

如图,抛物线y=mx²-2mx-3m(m＞0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
（1）请求抛物线定点M的坐标（用含m的代数式表示）,A、B两点的坐标；
（2）经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?若存在,请求出；如果不存在,请说明理由.

(1)y=mx²-2mx-3m=m(x²-2x-3)=m(x-1)²-4m,顶点坐标M(1,-4m)
(2)令y=0,求得A(-1,0),B(3,0),令x=0,求得C(0,-3m)
∴BC=3√(m²+1),BM=2√(4m²+1),CM=√(m²+1),AB=4,OC=3m.
直线BC方程：y+3m=mx,M到BC距离MD=2m/√(m²+1)
∴S△BCM=1/2*BC*MD=1/2*3√(m²+1)*2m/√(m²+1)=3m
S△ABC=1/2*AB*OC=1/2*4*3m=6m
S△BCM：S△ABC=3m/6m=1/2
(3)①设△BCM为以BM为斜边的Rt△,有CM²+BC²=BM²,
即(m²+1)+9(m²+1)=4(4m²+1),解得m=±1,∵m＞0,∴m=1,
此时y=x²-2x-3,使得△BCM为Rt△；
②设△BCM为以BC为斜边的Rt△,有CM²+BM²=BC²,
即(m²+1)+4(4m²+1)=9(m²+1),解得m=±1/2,∵m＞0,∴m=1/2
此时y=1/2x²-x*3,使得△BCM为Rt△；
③设△BCM为以CM为斜边的Rt△,有BC²+BM²=CM²,
即(m²+1)=4(4m²+1)+9(m²+1),无解,此时△BCM不可能为Rt△.