作业帮又来麻烦您了,这次想问一下关于积分上限函数的问题.对定积分求导等于被积函数,最早我是用速度和路程的那个例子从几何意义上理
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 14:38:29
又来麻烦您了,这次想问一下关于积分上限函数的问题.对定积分求导等于被积函数,最早我是用速度和路程的那个例子从几何意义上理解的.（速度函数的定积分是路程,对该积分求导又是某一X值下的速度的值）.高等数学上册P183：积分下限函数∫关于下限X的导数等于被积函数在下限X处的值的相反数.从公式的角度我能理解.也就是该书在这一段话上的证明.但是从意义或几何的角度怎么理解呢?比如路程和时间（当然不一定要这个例子）.您看这么好解释,
首先,定积分是一个定值,不定积分是一个函数集合,对定积分求导等于0,对不定积分进行积分变量求导才等于被积函数； 其次,应该是变下限积分--没有“积分下限函数”之说--关于积分变量(不是关于下限X)的导数等于被积函数在下限X处的值的相反数.现在,设被积函数为f(t),积分变量为t,变下限为x,则此处导数为-f(x)； 再次,导数的含义是因变量相对自变量的变化率,以变上限积分为例,以位移、时间和速度为例,因变量位移在某一时刻t的关于自变量时间t的变化率即单位时间位移的增量,其实就是瞬时速度v(t).变下限积分因积出的位移是负的,得出的速度自然是负的； 总之,欣赏你追求科学的问到底的精神,但建议你不必过于纠结其几何、物理意义的彻底说明,能理解可应用就足够了,与其此时困惑于此小节踟蹰不前,不如多多接触相关概念理论深入感悟数学各个方面,会当临绝顶,一览众山小,高度变了,角度自然就变了,问题终将迎刃而解.
再问： 感谢你的回答，这个问题本来是求教于wji371116的。对于你最后的一句话，我很认同，我也多次在相当长一段时间后理解了以前的问题。但是关于上面的问题，首先，你认为错的那一段话是我从书上原话摘下来的。其次你说变下限积分积出位移是负的，这是为什么？如果这一问题能说明清楚，差不多就解决了吧。
再答： 嗯，是我个人使用习惯的问题，我的错，你的引用的确有据可查，是正确的，但不知道你用的是哪一版的高等数学，据说同济大学高等数学第六版现在是主流教材，我上网查了下，在这本书上册里的第237页提到了“积分上限的函数”；至于积分下限的函数的问题，我表达的不是很清晰，应该说是不准确，我个人非数学专业，思维力量也有限，只能在此基础上再抽象不多事例，权且扔块砖，你也只当一家之见，择其善，鉴其非，不必太计较。还以位移、时间和速度为例，如果非得弄明白一些定积分的物理解释，这里就得与常见的物理概念稍异，不要混淆，实际上三个物理量都是矢量，一般，时间以过去为-∞，以现在为0点，以将来为+∞，这种解释的意义在于使得积分变量t构成二维直角坐标中完整的横轴，并且可以倒着积分，即，能使时间倒流，这才能体现完整的几何意义上的定积分概念。好了，现在，既然是矢量，就必须为位移规定正方向，很简单，正向的速度乘以正向的时间得到正向的位移增量，反之，正向的速度乘以反向的时间得到反向的位移增量。以上只是讲了一些个人所见“几何化”的物理定积分概念，仅供你参考。进入正题，速度积分从t1到t2表示的是t2-t1时间段的位移增量，当然是t2时的位移减去t1时的位移，这样，t1时的位移前就出现了负号，负号不代表负位移，对时间t在时刻t1求导后，得到的速度v(t1)前自然出现了负号。还是那句话，以开阔视野为学习正方向，以君之博见解君之所惑，共勉。
再问： 感谢你的回答，这个问题本来是求教于wji371116的。对于你最后的一句话，我很认同，我也多次在相当长一段时间后理解了以前的问题。但是关于上面的问题，首先，你认为错的那一段话是我从书上原话摘下来的。其次你说变下限积分积出位移是负的，这是为什么？如果这一问题能说明清楚，差不多就解决了吧。
再答： 嗯，是我个人使用习惯的问题，我的错，你的引用的确有据可查，是正确的，但不知道你用的是哪一版的高等数学，据说同济大学高等数学第六版现在是主流教材，我上网查了下，在这本书上册里的第237页提到了“积分上限的函数”；至于积分下限的函数的问题，我表达的不是很清晰，应该说是不准确，我个人非数学专业，思维力量也有限，只能在此基础上再抽象不多事例，权且扔块砖，你也只当一家之见，择其善，鉴其非，不必太计较。还以位移、时间和速度为例，如果非得弄明白一些定积分的物理解释，这里就得与常见的物理概念稍异，不要混淆，实际上三个物理量都是矢量，一般，时间以过去为-∞，以现在为0点，以将来为+∞，这种解释的意义在于使得积分变量t构成二维直角坐标中完整的横轴，并且可以倒着积分，即，能使时间倒流，这才能体现完整的几何意义上的定积分概念。好了，现在，既然是矢量，就必须为位移规定正方向，很简单，正向的速度乘以正向的时间得到正向的位移增量，反之，正向的速度乘以反向的时间得到反向的位移增量。以上只是讲了一些个人所见“几何化”的物理定积分概念，仅供你参考。进入正题，速度积分从t1到t2表示的是t2-t1时间段的位移增量，当然是t2时的位移减去t1时的位移，这样，t1时的位移前就出现了负号，负号不代表负位移，对时间t在时刻t1求导后，得到的速度v(t1)前自然出现了负号。还是那句话，以开阔视野为学习正方向，以君之博见解君之所惑，共勉。