1.求证,三角形三边上的高交于一点.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/07 13:56:06

1.求证,三角形三边上的高交于一点.
2.求证,三角形三边上的中线相交于一点,且这个交点是所在中线的一个三等分点.
3.在三角形ABC中,G为重心,I为内心,若AB=6,BC=5,CA=4,求GI/BC

1.证明：
设△ABC,高AD、BE交于H,连CH交AB于F
∵AD⊥BC,BE⊥AC
∴C、D、H、E四点共圆,A、B、D、E四点共圆
∠ABE=∠ADE=∠ACF
而∠ABE+∠BAE=90º
∴∠ACF+∠BAE=90º
∴CF⊥AB
即△ABC三边上的高AD、BE、CF交于一点
证毕
2.证明：
设在△ABC中,D为AC中点,E为AB中点,连结BD、CE,相交于点O,连结AO并延长交BC于点M,分别过点O、点A作BC的垂线段,垂足为H1、H2,连结DE、DM
∵D、E为AC、AB中点
∴DE‖BC,且DE＝1/2BC
∴BO：OD=CO：OE=BC：DE＝2：1
∵D为AC中点
∴△BCD的面积=1/2△ABC的面积
∵BO：BD＝2：3
∴△BOC的面积＝2/3△BCD的面积＝1/3△ABC的面积
∵△BOC与△ABC同底
∴OH1=1/3AH2
∴OM：AO=OH1：AH2=1：3
∴AO：OM=2：1= BO：OD
∴DM‖AB
∵D为AC中点
∴M是BC中点
∴AM为边BC的中线
∴△ABC的三条中线交于一点O,且O是所在中线的一个三等分点
证毕
3.建议用向量法
为方便书写,以下向量均用[]表示
重心有以下性质：
设P是△ABC所在平面内任一点,G是△ABC的重心,则[PG]=(1/3)([PA]+[PB]+[PC])
内心有如下性质：
设I是△ABC的内心,则a[IA]+b[IB]+c[IC]=[0]
（以上证明过程略,需要的话hi我）
回到本题
任取△ABC所在平面内一点作为坐标原点建立直角坐标系,则
[OG]=([OA]+[OB]+[OC])/3
a[IA]+b[IB]+c[IC]=[0]
又[IA]=[OA]-[OI],[IB]=[OB]-[OI],[IA]=[OB]-[OI]
∴a([OA]-[OI])+b([OB]-[OI])+c([OC]-[OI])=[0]
∴a[OA]+b[OB]+c[OC]=(a+b+c)[OI]
∴[OI]=(a[OA]+b[OB]+c[OC])/(a+b+c)
=(5[OA]+4[OB]+6[OC])/15
∴[GI]=[OI]-[OG]=(5[OA]+4[OB]+6[OC])/15-([OA]+[OB]+[OC])/3
=([OC]-[OB])/15=[BC]/15
∴[GI]‖[BC]
且|GI|=|BC|/15
即GI/BC=1/15

1.求证,三角形三边上的高交于一点. 求证：三角形三边的垂直平分线交于一点. 求证:三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心怎样证明三角形的三边的垂直平分线交于一点怎么证明三角形的三边的垂直平分线交于一点? 证明三角形的三边的垂直平分线交于一点证明三角形ABC三边的垂直平分线交于一点证明:三角形三边的中垂线交于一点. 怎么证明三角形的三边垂直平分线交于一点类比联想：既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一已知三角形abc,求证三角形abc的三边的垂直平分线交与一点求证：等边三角形内任意一点到三角形三边的距离之和等于其中一边上的高．