设n阶方阵A满足下面三个条件:A的转置等于A;A的2次方等于A;A的行列式不等于0.证明:A是正定矩阵.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 19:47:33
设n阶方阵A满足下面三个条件:A的转置等于A;A的2次方等于A;A的行列式不等于0.证明:A是正定矩阵.
根据已知条件有:A^T = A (A^T表示A的转置),A^2 = A * A = A^T * A=A.对任意的向量X,有
X^T * A * X = X^T * A^2 * X = X^T * A * A * X = X^T * A^T * A * X = (AX)^T * (AX),令AX = Y = (y1,...,yn),
则:X^T * A * X = X^T * A^2 * X = Y^T * Y = y1^2 + .+ yn^2 >= 0.
且 A 的行列式不为 0,根据 AX = Y,所以 X ≠ 0 => Y ≠ 0.
由 X 的任意性知道,A 为正定矩阵.
X^T * A * X = X^T * A^2 * X = X^T * A * A * X = X^T * A^T * A * X = (AX)^T * (AX),令AX = Y = (y1,...,yn),
则:X^T * A * X = X^T * A^2 * X = Y^T * Y = y1^2 + .+ yn^2 >= 0.
且 A 的行列式不为 0,根据 AX = Y,所以 X ≠ 0 => Y ≠ 0.
由 X 的任意性知道,A 为正定矩阵.
设n阶方阵A满足下面三个条件:A的转置等于A;A的2次方等于A;A的行列式不等于0.证明:A是正定矩阵.
设n阶矩阵A满足A方等于A,并且A不等于E,证明A的行列式等于0
A是n阶矩阵,A^2=A,A不等于E,证明:A的行列式等于0
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设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵
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