已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf(x)≤x²+ax+1恒成立,求a的取值范围.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 20:53:04
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf(x)≤x²+ax+1恒成立,求a的取值范围.
定义域有x>0
不等式为:
x(x+1)lnx-x²+x=(x+1)lnx-2x+1-1/x 恒成立
令上式右边为g(x), 即a>=g(x)
现求g(x)的最大值
g'(x)=lnx+(x+1)/x-2+1/x²=lnx+1/x-1+1/x²
g"(x)=1/x-1/x²-2/x^3=1/x^3(x²-x-2)=(x-2)(x+1)/x^3
当x=2时,g'(x)取最小值,g'(2)=ln2+1/2-1+1/4=ln2-1/4>0
所以g'(x)>0恒成立
因此g(x)单调增
当x->+∞时,g(x)->+∞,
因此不存在这样的a.
是不是题目抄错了?
再问: 题目错了应该是:已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf'(x)≤x²+ax+1恒成立,求a的取值范围。
再答: 哦,怪不得: 定义域有x>0 f'(x)=lnx+(x+1)/x-1=lnx+1/x 不等式为: xlnx+1=lnx-x 恒成立 令上式右边为g(x), 即a>=g(x) 现求g(x)的最大值 g'(x)=1/x-1=(1-x)/x 得极大值点x=1 g(1)=-1 所以有a>=-1
不等式为:
x(x+1)lnx-x²+x=(x+1)lnx-2x+1-1/x 恒成立
令上式右边为g(x), 即a>=g(x)
现求g(x)的最大值
g'(x)=lnx+(x+1)/x-2+1/x²=lnx+1/x-1+1/x²
g"(x)=1/x-1/x²-2/x^3=1/x^3(x²-x-2)=(x-2)(x+1)/x^3
当x=2时,g'(x)取最小值,g'(2)=ln2+1/2-1+1/4=ln2-1/4>0
所以g'(x)>0恒成立
因此g(x)单调增
当x->+∞时,g(x)->+∞,
因此不存在这样的a.
是不是题目抄错了?
再问: 题目错了应该是:已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf'(x)≤x²+ax+1恒成立,求a的取值范围。
再答: 哦,怪不得: 定义域有x>0 f'(x)=lnx+(x+1)/x-1=lnx+1/x 不等式为: xlnx+1=lnx-x 恒成立 令上式右边为g(x), 即a>=g(x) 现求g(x)的最大值 g'(x)=1/x-1=(1-x)/x 得极大值点x=1 g(1)=-1 所以有a>=-1
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf(x)≤x²+ax+1恒成立,求a的取值范围,
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf(x)≤x²+ax+1恒成立,求a的取值范围.
高中函数,导数f(x)=1-x+(x+1)lnx,(1)、若xf’(x)≤x²+ax+1,求a的取值范围;(2
已知函数f(x)=lnx-a/x,若f(x).>x^2在(1,+无穷)上恒成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=lnx-a/x,若f(x)>x^2在(1,正无穷)上恒成立,求a的取值范围.
已知函数f(x)=1+lnx-ax,若f(x)≤0 恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=lnx-ax+1,若f(x)≤0恒成立,试确定实数a的取值范围
已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围
已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1,在区间(1,+00)内成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=x²lnx-ax²+a,a∈R.若当x>=1时,f(x)>=0成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=ax-lnx.若f(x)>1在区间(1,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围?
已知函数F(X)=aX-lnX,若F(X)>1在(1,正无穷)内恒成立,求实数a的取值范围