(2011•江苏模拟)已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/01 11:55:42
(2011•江苏模拟)已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.
(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈R时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).
(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈R时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).
(1)方程|f(x)|=g(x),即|x2-1|=a|x-1|,变形得|x-1|(|x+1|-a)=0,
显然,x=1已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a,
有且仅有一个等于1的解或无解,
由此得a<0.
(2)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立,即(x2-1)≥a|x-1|(*)对x∈R恒成立,
①当x=1时,(*)显然成立,此时a∈R;
②当x≠1时,(*)可变形为a≤
x2−1
|x−1|,令φ(x)=
x2−1
|x−1|=
x+1,(x>1)
−(x+1),(x<1)
因为当x>1时,φ(x)>2,当x<1时,φ(x)>-2,
所以φ(x)>-2,故此时a≤-2.
综合①②,得所求实数a的取值范围是a≤-2.
(3)因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x2-1|+a|x-1|=
x2+ax−a−1,(x≥1)
−x2−ax+a+1,(−1≤x<1)
x2−ax+a−1,(x<−1)(10分)
当
a
2>1,即a>2时,结合图形可知h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增,
且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较,此时h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3.
当0≤
a
2≤1,即0≤a≤2时,结合图形可知h(x)在[-2,-1],[−
a
2,1]上递减,
在[−1,−
a
2],[1,2]上递增,且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,h(−
a
2)=
a2
4+a+1,
经比较,知此时h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3.
当−1≤
a
2<0,即−2≤a<0时,结合图形可知h(x)在[-2,-1],[−
显然,x=1已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a,
有且仅有一个等于1的解或无解,
由此得a<0.
(2)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立,即(x2-1)≥a|x-1|(*)对x∈R恒成立,
①当x=1时,(*)显然成立,此时a∈R;
②当x≠1时,(*)可变形为a≤
x2−1
|x−1|,令φ(x)=
x2−1
|x−1|=
x+1,(x>1)
−(x+1),(x<1)
因为当x>1时,φ(x)>2,当x<1时,φ(x)>-2,
所以φ(x)>-2,故此时a≤-2.
综合①②,得所求实数a的取值范围是a≤-2.
(3)因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x2-1|+a|x-1|=
x2+ax−a−1,(x≥1)
−x2−ax+a+1,(−1≤x<1)
x2−ax+a−1,(x<−1)(10分)
当
a
2>1,即a>2时,结合图形可知h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增,
且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较,此时h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3.
当0≤
a
2≤1,即0≤a≤2时,结合图形可知h(x)在[-2,-1],[−
a
2,1]上递减,
在[−1,−
a
2],[1,2]上递增,且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,h(−
a
2)=
a2
4+a+1,
经比较,知此时h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3.
当−1≤
a
2<0,即−2≤a<0时,结合图形可知h(x)在[-2,-1],[−
(2011•江苏模拟)已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.
(2014•江苏模拟)已知函数f(x)=x3+x2-ax(a∈R).
(2011•安徽模拟)已知f(x)=x2+3x+1,g(x)=a-1x-1+x.
(2011•江苏模拟)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax(a>0),设F(x)=f(x)+g(x)
(2013•杭州模拟)已知函数f(x)=1x+1,g(x)=x2+1,则f[g(0)]的值等于( )
(2014•浙江模拟)设函数f(x)=x|2x-a|,g(x)=x2−ax−1,a>0
已知函数f(x)=1/2x2+alnx,g(x)=(a+1)x(a≠-1),H(x)=f(x)-g(x).
(2014•宁波模拟)已知函数f(x)=x-x-1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx,零点分别为x1,x2,x3
已知函数f(x)=x2+2aln(1-x)(a∈R),g(x)=f(x)-x2+x
(2012•江苏三模)已知函数f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数.
(2011•江苏二模)已知函数f(x)=x+a+a|x|,a为实数.
(2011•江苏模拟)设m为实数,函数f(x)=2x2+(x-m)|x-m|,h(x)=f(x)x(x≠0)0(x=0)