证明三线共点设△ABC内一点O,其关于BC,CA,AB的对称点分别是A1,B1,C1.求证:AA1,BB1,CC1三线共

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/29 21:16:09

证明三线共点
设△ABC内一点O,其关于BC,CA,AB的对称点分别是A1,B1,C1.
求证:AA1,BB1,CC1三线共点.

用塞瓦定理结合面积证法.具体步骤如下：
设AA1、BB1、CC1分别交相应的边于D、E、F,于是AA1、BB1、CC1三线共点等价于AD、BE、CF共点.由塞瓦定理,我们只需证明(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1.将这些线段比转化为相应的面积比：
BD/DC=Area(ABA1)/Area(ACA1)
CE/EA=Area(BCB1)/Area(BAB1)
AF/FB=Area(CAC1)/Area(CBC1)
为此考察上述各三角形的面积.
由三角形面积公式容易发现：
Area(ABA1)=Area(ABO)*(sin(ABA1)/sin(ABO))
对于其他五个也有类似关系,所以
[Area(ABA1)/Area(ACA1)]*[Area(BCB1)/Area(BAB1)]*[Area(CAC1)/Area(CBC1)]
=[Area(ABO)/Area(ACO)]*[Area(BCO)/Area(BAO)]*[Area(CAO)/Area(CBO)]*
{[sin(ABA1)/sin(ABO)]/[sin(ACA1)/sin(ACO)]}*{[sin(BCB1)/sin(BCO)]/[sin(BAB1)/sin(BAO)]}*{[sin(CAC1)/sin(CAO)]/[sin(CBC1)/sin(CBO)]}
而各角之间有相互关系：∠ABA1=∠CBC1,∠BCB1=∠ACA1,∠CAC1=∠BAB1,由此,整理上式即得乘积等于（面积部分已经抵消）
[sin(ACO)/sin(ABO)]*[sin(BAO)/sin(BCO)]*[sin(CBO)/sin(CAO)]
=[sin(BAO)/sin(ABO)]*[sin(CBO)/sin(BCO)]*[sin(ACO)/sin(CAO)]
=(BO/AO)*(CO/BO)*(AO/CO)（正弦定理）
=1
得证所求.

证明三线共点设△ABC内一点O,其关于BC,CA,AB的对称点分别是A1,B1,C1.求证:AA1,BB1,CC1三线共如图所示,把△ABC的三条边CA,AB,BC分别延长至A1,B1,C1,使AA1=AC,BB1=AB,CC1=BC,连接如图所示,把△ABC的三条边CA,AB,BC分别延长至A1,B1,C1,使AA1=3AC,BB1=AB,CC1=2BC, 三角形ABC三边外作3个正方形,A1 B1 C1 是正方形边上BC AC AB 对边中点,求证AA1 BB1 CC1共点在△ABC中,已知AD、BE、CF分别是BC、CA、AB三边上的高,求AD、BE、CF三线共点. 伴你成长如图,由平行四边形ABCD的各顶点向直线l引垂足,分别为A1,B1,C1,D1,求证AA1+CC1=BB1+DD 由平行四边形的各顶点向直线L引垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1.求证AA1+CC1=BB1+DD1 三角形ABC的面积S△ABC=1,aa1:ab=bb1:bc=cc1:ca=1\2 点A1,A2,B1,B2,C1,C2,分别是△ABC的边BC,CA,AB,上的三等分点,且三角形ABC的周长为L 把三角形ABC的三边CA,AB,BC分别延长至A1,B1,C1,使AA1=AC,B1B=AB,C1C=BC.连接A1B1 已知：如图,△ABC为等边三角形,A1,A2,B1,B2,C1,C2分别是边AB,BC,CA上的点,且六边形A1A2B1 在三角形ABC中,已知AD﹑BE﹑CF分别是BC﹑CA﹑AB三边上的高,求证AD﹑BE﹑CF三线共点.