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在△ABC中,∠A=15°,∠B=105°,若以A,B为焦点的椭圆经过点C.则该椭圆的离心率e=______.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 17:17:35
在△ABC中,∠A=15°,∠B=105°,若以A,B为焦点的椭圆经过点C.则该椭圆的离心率e=______.
∵△ABC中,∠A=15°,∠B=105°,
设三角形外接圆半径为R,则有正弦定理得:
∴|AB|=2RsinC=2Rsin60°,|BC|=2RsinA=2Rsin15°,|AC|=2RsinB=2Rsin105°.
∵椭圆以B,C为焦点,且经过A点,
∴2a=|AC|+|CB|,2c=|BA|
∴椭圆离心率e=
c
a=
2c
2a=
|BA|
|AC|+|BC|=
2Rsin60°
2Rsin15°+2Rsin105°=
sin60°
sin15°+sin105°=
sin60°
sin(60°−45°)+sin(60°+45°)=
sin60°
(sin60°cos45°−cos60°sin45°)+(sin60°cos45°+cos60°sin45°)=
sin60°
2sin60°cos45°=
1

2=

2
2.
故答案为:

2
2.