作业帮用反证法证明一元二次方程至多有两个不同实根
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 19:30:35
用反证法证明一元二次方程至多有两个不同实根
假设有三个实根 结果能得出其中有两个是相等的
假设有三个实根 结果能得出其中有两个是相等的
假设一元二次方程ax²+bx+c=0,（a≠0）至少有三个互不相等的实根
设三个根分别为r,s,t,
则r≠s,s≠t,t≠r,且
ar²+br+c=0,①
as²+bs+c=0,②
at²+bt+c=0,③
①－②,得(r-s)[a(r+s)+b]=0,
∵r≠s,∴a(r+s)+b=0,④
②－③,得(s-t)[a(s+t)+b]=0,
∵s≠t,∴a(s+t)+b=0,⑤
④－⑤,得a(r-t)=0,
∴a=0,或r=t,
与a≠0且t≠r矛盾,
∴假设不成立,一元二次方程ax²+bx+c=0,（a≠0）至多有两个不相等的实根
设三个根分别为r,s,t,
则r≠s,s≠t,t≠r,且
ar²+br+c=0,①
as²+bs+c=0,②
at²+bt+c=0,③
①－②,得(r-s)[a(r+s)+b]=0,
∵r≠s,∴a(r+s)+b=0,④
②－③,得(s-t)[a(s+t)+b]=0,
∵s≠t,∴a(s+t)+b=0,⑤
④－⑤,得a(r-t)=0,
∴a=0,或r=t,
与a≠0且t≠r矛盾,
∴假设不成立,一元二次方程ax²+bx+c=0,（a≠0）至多有两个不相等的实根