已知点M是三角形ABC所在平面内的一点,且满足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三条边长AB*BC*C
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/09 08:47:45
已知点M是三角形ABC所在平面内的一点,且满足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三条边长AB*BC*CA的最大值是
介绍一个引理:设G是△ABC的重心,则MA²+MB²+MC² = GA²+GB²+GC²+3MG².
用向量法的证明最简单,作为向量有MA = MG+GA,MB = MG+GB,MC = MG+GC.
于是MA²+MB²+MC² = GA²+GB²+GC²+3MG²+2MG·(GA+GB+GC) = GA²+GB²+GC²+3MG².
其中用到G是重心,故GA+GB+GC = 0.
由上面结论,GA²+GB²+GC² ≤ MA²+MB²+MC² = 4.
而AB²+BC² = GA²+GB²+GC²+3GB² = GA²+4GB²+GC².
同理BC²+CA² = GA²+GB²+4GC²,CA²+AB² = 4GA²+GB²+GC².
相加得AB²+BC²+CA² = 3(GA²+GB²+GC²) ≤ 12.
由均值不等式,AB²*BC²*CA² ≤ ((AB²+BC²+CA²)/3)³ ≤ 64.
故AB*BC*CA ≤ 8.
又易见△ABC等边且M为其中心时,等号成立.
因此AB*BC*CA的最大值就是8.
用向量法的证明最简单,作为向量有MA = MG+GA,MB = MG+GB,MC = MG+GC.
于是MA²+MB²+MC² = GA²+GB²+GC²+3MG²+2MG·(GA+GB+GC) = GA²+GB²+GC²+3MG².
其中用到G是重心,故GA+GB+GC = 0.
由上面结论,GA²+GB²+GC² ≤ MA²+MB²+MC² = 4.
而AB²+BC² = GA²+GB²+GC²+3GB² = GA²+4GB²+GC².
同理BC²+CA² = GA²+GB²+4GC²,CA²+AB² = 4GA²+GB²+GC².
相加得AB²+BC²+CA² = 3(GA²+GB²+GC²) ≤ 12.
由均值不等式,AB²*BC²*CA² ≤ ((AB²+BC²+CA²)/3)³ ≤ 64.
故AB*BC*CA ≤ 8.
又易见△ABC等边且M为其中心时,等号成立.
因此AB*BC*CA的最大值就是8.
已知点M是三角形ABC所在平面内的一点,且满足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三条边长AB*BC*C
求教一道高二数学题M是三角形ABC平面内一点,且满足(MB-MC).(MB+MC).(MB+MC-2MA)=0求三角形形
若M为△ABC所在平面内一点,且满足(向量MB-向量MC)*(向量MB+向量MC)=0,向量MB+向量MC+2向量MA=
如图,点M是三角形ABC内的一点,MA=4,MB=2根号3,MC=2.求角BMC
在△ABC中,AB=4,AC=2,M是△ABC内一点,且满足2MA向量+MB向量+MC向量=0向量,求AM向量·BC向量
在三角形ABC中,D是BC的中点,AD=1,点M在AD上,且满足向量AD=2向量MD,则向量MA×(向量MB+向量MC)
已知O是三角形ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2*向量OA+向量OB+向量OC=向量0,那么
点P是三角形ABC所在平面内的一点,且满足向量AP=1/3AB+2/3AC,则三角形PAC的面积与三角形ABC的面积之比
点p是三角形ABC所在平面内的一点,且满足向量AP=1/3AB﹢2/3AC,则三角形PAC面积与三角形ABC面积之比
求:三角形ABC,连接BC上一点M至点A,在AM上任取一点(三角形ABC内),连接MB,MC.已知AB=AC,MB=MC
已知O是三角形所在平面内的一点,且满足向量摸OB-OC=OB+OC-2OA,则三角形ABC的形状是
如图,在三角形ABC中,AC=BC>AB,点P为三角形ABC所在平面内一点,且点P与三角形ABC的