关于范数的疑问矩阵的范数的定义中,x属于R^n,为什么x的范数最大值是1?如果可以详细解释一下范数到底是什么东西更好一些
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/04 18:08:02
关于范数的疑问
矩阵的范数的定义中,x属于R^n,为什么x的范数最大值是1?如果可以详细解释一下范数到底是什么东西更好一些,初学,完全不懂.
这里第10张ppt上矩阵范数的定义公式看不懂是怎么推的
矩阵的范数的定义中,x属于R^n,为什么x的范数最大值是1?如果可以详细解释一下范数到底是什么东西更好一些,初学,完全不懂.
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首先,你最好熟悉下矩阵常用的几种范数形式,1-范数,2-范数,无穷范数,这三个比较常用的,范数其实还是一种度量,你看看上面提到的那几种范数,其规定的运算,本身就是对矩阵的一种度量,不难理解的.
至于你说的,第十页上那种定义,其实应该归于算子范数.矩阵左乘一个向量,矩阵就作为一个算子,一个矩阵后面可以乘上很多对应空间的向量,那就是其对向量的变换,所以矩阵这个时候就是一个算子.
算子范数又是对算子的度量,你看到的那个定义,分子是矩阵左乘一个向量后的范数,分母是该向量的范数,是不是就是说,矩阵作为算子对向量进行变换后,将该向量模长最大(Max)放大多少倍.其本质是对矩阵运算的一种度量,不过这时候矩阵叫算子,应该是算子范数,ppt里简单的称为矩阵范数,没有错,但容易和前面的几种范数产生混淆,不便理解.
ppt第10页算子范数的公式,其实是一种定义,不存在推导不推导.
再问: 为什么那个定义可以等于X范数为1的情况,不理解。
再答: 这也只是为了便于问题的讨论,给定一个规则,在此规则之下,可以简化问题的讨论。
就像三角函数里的单位圆一样,其实不用单位圆也可,只是定了个规则。
如果在n维空间,就是取一个n维空间中单位球球面上的点做向量,长度为1,你可以理解为就是二维空间中单位圆,或者三维空间中单位球的一种推广。当取单位球上的向量时,其长度为1,那么算子A乘上该向量,就是对该向量进行变换,变换后所得的向量模长,比上原来的长度为1的单位向量,是不是和前面的定义本质是一回事?
至于你说的,第十页上那种定义,其实应该归于算子范数.矩阵左乘一个向量,矩阵就作为一个算子,一个矩阵后面可以乘上很多对应空间的向量,那就是其对向量的变换,所以矩阵这个时候就是一个算子.
算子范数又是对算子的度量,你看到的那个定义,分子是矩阵左乘一个向量后的范数,分母是该向量的范数,是不是就是说,矩阵作为算子对向量进行变换后,将该向量模长最大(Max)放大多少倍.其本质是对矩阵运算的一种度量,不过这时候矩阵叫算子,应该是算子范数,ppt里简单的称为矩阵范数,没有错,但容易和前面的几种范数产生混淆,不便理解.
ppt第10页算子范数的公式,其实是一种定义,不存在推导不推导.
再问: 为什么那个定义可以等于X范数为1的情况,不理解。
再答: 这也只是为了便于问题的讨论,给定一个规则,在此规则之下,可以简化问题的讨论。
就像三角函数里的单位圆一样,其实不用单位圆也可,只是定了个规则。
如果在n维空间,就是取一个n维空间中单位球球面上的点做向量,长度为1,你可以理解为就是二维空间中单位圆,或者三维空间中单位球的一种推广。当取单位球上的向量时,其长度为1,那么算子A乘上该向量,就是对该向量进行变换,变换后所得的向量模长,比上原来的长度为1的单位向量,是不是和前面的定义本质是一回事?
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