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已知：关于x的一元二次方程mx2-（m-3）x-2m+3=0．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/13 14:30:36
已知：关于x的一元二次方程mx2-（m-3）x-2m+3=0．
（1）若m是整数，且方程的两个根为整数，求m的值．
（2）已知一次函数y1=6x-6．若二次函数y2=mx2-（m-3）x-2m+3的图象关于y轴对称．是否存在二次函数y3=ax2+bx+c，其图象经过点（2，8），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1，y2，y3都有y1≤y3≤y2成立？若存在，求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式；若不存在，请说明理由．
（1）∵[-（m-3）]2-4m（-2m+3）=9m2-18m+9=（3m-3）2，
∴x1=
m−3+(3m−3)
2m=2-
3
m，x2=
m−3−(3m−3)
2m=-1．
∵m是整数，且方程的两个根为整数，
∴m的值为3，-3，1，-1．

（2）∵二次函数y2=mx2-（m-3）x-2m+3的图象关于y轴对称，
∴m-3=0即m=3．
∴抛物线的解析式为：y2=3x2-3．
∵y1-y2=（6x-6）-（3x2-3）=-3x2+6x-3=-3（x-1）2≤0，
∴y1≤y2（当且仅当x=1时，等号成立）．
∵当x=1时，y1=y2=0，
∴y1、y2的图象都经过（1，0）．
∵对应x的同一个值，y1≤y3≤y2成立，
∴y3=ax2+bx+c的图象也必过点（1，0），
又∵y3=ax2+bx+c经过（2，8），
∴

a+b+c＝0
4a+2b+c＝8，
∴

b＝8−3a
c＝2a−8，
∴y3=ax2+（8-3a）x+2a-8．
设y=y3-y2=ax2+（8-3a）x+2a-8-（3x2-3）
=ax2+（8-3a）x+2a-8-3x2+3
=（a-3）x2+（8-3a）x+2a-5
∵对于任意实数x的同一个值，都有y3≤y2即y≤0成立，
∴y=（a-3）x2+（8-3a）x+2a-5≤0恒成立，
∴a-3＜0，且（8-3a）2-4（a-3）（2a-5）=（a-2）2≤0，
∴a＜3，且（a-2）2=0．
∴a=2．
此时y3=2x2+2x-4．
又∵y3-y1=2x2+2x-4-（6x-6）=2x2-4x+2=2（a-1）2≥0，
∴y3≥y1恒成立，
∴所求二次函数的解析式为y3=2x2+2x-4．
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