作业帮【数学】关于用微积分计算面积时出现负数的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/09 10:28:58
【数学】关于用微积分计算面积时出现负数的问题
例如求函数f(x)=-2x+4在区间[2,5]上与x轴围成的面积,应该是：
S=∫f(x)dx[2,5]……中括号为上下界,下同
=-x^2+4x|[2,5]
=(-25+20)-(-4+8)
=-9
--------------------------------------------------------------
结果是负数,很明显这是因为围成的三角形在x轴下方.这样的题在解答是应该最开始就把积分变量换成[5,2]再积,还是直接加一步S=|-9|=9?
例如求函数f(x)=-2x+4在区间[2,5]上与x轴围成的面积,应该是：
S=∫f(x)dx[2,5]……中括号为上下界,下同
=-x^2+4x|[2,5]
=(-25+20)-(-4+8)
=-9
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结果是负数,很明显这是因为围成的三角形在x轴下方.这样的题在解答是应该最开始就把积分变量换成[5,2]再积,还是直接加一步S=|-9|=9?
答：
面积的话,用绝对值,而且不是对S用,是对被积函数用.
S=∫|-2x+4|dx[2,5]
=∫2x-4 dx[2,5]
有时候还要分段.
比如这题如果换一个区间,换成[0,5]
画图像,显然[0,2]部分在x轴上方,[2,5]部分在x轴下方:
S=∫|-2x+4dx|dx[0,5]
=∫-2x+4 dx[0,2]+∫2x-4 dx[2,5]
要注意分段.
面积的话,用绝对值,而且不是对S用,是对被积函数用.
S=∫|-2x+4|dx[2,5]
=∫2x-4 dx[2,5]
有时候还要分段.
比如这题如果换一个区间,换成[0,5]
画图像,显然[0,2]部分在x轴上方,[2,5]部分在x轴下方:
S=∫|-2x+4dx|dx[0,5]
=∫-2x+4 dx[0,2]+∫2x-4 dx[2,5]
要注意分段.