作业帮 > 数学 > 作业

导数连续问题设函数f(x)=x^ksin(1/x) ,x不等于0 (k为整数) 0 ,x=0 问k满足什么条件,f(x)

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 15:26:25
导数连续问题
设函数f(x)=x^ksin(1/x) ,x不等于0 (k为整数)
0 ,x=0
问k满足什么条件,f(x)在x=0处导数连续
(1)大体确定k的范围:
若k0 f(x)不存在,也就是说lim x->0 f(x)不等于f(0).这时函数在0点不连续,更谈不上可导.
若k>0:此时lim x->0 f(x)=f(0)=0,连续.
所以先确定大体k的范围是k=1,2,3...
(2)用“导函数连续”的条件:
f'(0+)=lim x->0+ [f(x)-f(0)]/(x-0)
f'(0-)=lim x->0- [f(x)-f(0)]/(x-0)
导函数连续则必须f'(0+)=f'(0-)
所以lim x->0+ [x^(k-1)sin(1/x)]=lim x->0- [x^(k-1)sin(1/x)] ,其中k=1,2,3...
发现当k=1时,两边极限不存在,所以等式不成立.
当k=2,3,4...时,两边极限都是0.
综上:k的范围是k=2,3,4...