几道高二数列的题1,已知数列a(n)首项为a(1)=2/3 ,a(n+1)=2a(n)/a(n)+1 ,n=1,2,3.

几道高二数列的题
1,已知数列a(n)首项为a(1)=2/3 ,a(n+1)=2a(n)/a(n)+1 ,n=1,2,3.
(1),证明{1/a(n)-1}是等比数列.（2）,求数列{n/a(n)}的前n项和S（n） .
2,已知数列{a（n）} ,a（1）=1 ,且a（n）=3a（n-1）-2n+3 ,n=2,3,4.
（1） ,证明{a(n)-n}是等比数列 .(2) ,求{a(n)}的前（n）项和S（n） .
3 ,已知数列{a(n)}的前n项和为S(n),且满足S(n+1)=2S(n)-n+3,N属于非零自然数 ,且a(1)=3 .
求 a（n）通项公式 .

解题核心思路：1、设置参数,构造数列；2、分类求和.
1.已知数列a(n)首项为a(1)=2/3,a(n+1)=2a(n)/(a(n)+1),n∈Z+；
(1).证明{1/a(n)-1}是等比数列；
(2).求数列{n/a(n)}的前n项和S(n).
(1).将等式a(n+1)=2a(n)/(a(n)+1)两边求倒数得:
1/a(n+1)=(a(n)+1)/（2a(n)）=(1/(2a(n)))+(1/2)；
为构造等比数列,设(1/a(n+1))-t=(1/2)((1/a(n))-t),
化简得1/a(n+1)=(1/(2a(n)))+(1/2)t,则t=1,
则(1/a(n+1))-1=（1/2）((1/a(n))-1)；
则(1/a(n))-1是以(1/a(1))-1=1/2为首项,1/2为公比的等比数列；
则(1/a(n))-1=(1/2)×(1/2)^(n-1),则an=2^n/(2^n+1)
(2).由(1)知n/a(n)=(n/2^n)+n,则
s(n)=[(1/2^1)+(2/2^2)+(3/2^3)+···((n-1)/2^(n-1))+(n/2^n)]
+[1+2+3+···+(n-1)+n]
s(n)/2=[(1/2^2)+(2/2^3)+(3/2^4)+···((n-1)/2^n)+(n/2^(n+1))]
+[1+2+3+···+(n-1)+n]/2
则s(n)-(s(n)/2)=[(1/2^1)+(1/2^2)+(1/2^3)+···+(n/2^n)-(n/2^(n+1))]
+[1+2+3+···+(n-1)+n]/2
则s(n)/2=1-((n+2)/2^(n+1))+((n^2+n)/4),
则s(n)=2-((n+2)/2^n)+((n^2+n)/2)
2.已知数列{a(n)},a(1)=1,且a(n)=3a(n-1)-2n+3,n=2、3、4···
(1).证明{a(n)-n}是等比数列；
(2).求{a(n)}的前n项和S(n).
(1).为构造一个等比数列,设a(n)-tn+k=3(a(n-1)-t(n-1)+k),
化简得：an=3a(n-1)-2tn+(3t+2k),比较得：-2t=-2,3t+2k=3,则t=1,k=0；
则a(n)-n=3(a(n-1)-(n-1)),
则a(n)-n是以a(1)-1=1-1=0,假设a(1)=2≠0；
则a(n)-n是以a(1)-1=2-1=1为首项,3为公比的等比数列,
则a(n)-n=3^(n-1),则an=3^(n-1)+n；
(2).由(1)可知:S(n)=(3^n+n^2+n-1)/2
3.已知数列{a(n)}的前n项和为S(n),且满足S(n+1)=2S(n)-n+3,n∈Z+；且a(1)=3.求a(n).
(1).由S(n+1)=2S(n)-n+3得S(n)=2S(n-1)-n+4；
为构造一个等比数列,设S(n)-tn+k=2(S(n-1)-t(n-1)+k),
化简得：Sn=2S(n-1)-tn+(2t+k),比较得：-t=-1,2t+k=4,则t=1,k=2；
则S(n)-n+2=2(S(n-1)-(n-1)+2),
则S(n)-n+2是以S(1)-1+2=S(1)+1=a(1)+1=3+1=4为首项,2为公比的等比数列,
则S(n)-n+2=4×2^(n-1)=2^(n+1)；
则S(n)=2^(n+1)+n-2,则a(n)=S(n)-S(n-1)=2^n+1；
S(1)=a(1)=2^1+1=3成立,则a(n)=2^n+1.