lim(x→0)【(1+x)^x-e】/x=?刚学高数 ,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 02:27:30
lim(x→0)【(1+x)^x-e】/x=?刚学高数 ,
一楼说对了 是我把题目搞错了 但是我还是不会。
一楼说对了 是我把题目搞错了 但是我还是不会。
这题应该不是初等程度的极限了,需用洛必达法则解才方便
分子 lim[x→0] (1+x)^(1/x)-e=lim[x→0] (1+x)^(1/x) -e=e-e=0
分母 lim[x→0] x=0
所以题目属于0/0形式,适合用洛必达法则:
首先求(1+x)^(1/x)的导数
设y=(1+x)^(1/x)
lny=ln(1+x)/x,两边对x求导
1/y·y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
1/y·y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²(1+x)
y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
lim[x→0] [(1+x)^(1/x)-e]/x,上下分别求导,分母x的导数是1,e的导数是0,所以剩余的就是(1+x)^(1/x)的导数
=lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
=lim[x→0] (1+x)^(1/x)·lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
=e·lim[x→0] {1-[ln(1+x)+(1+x)·1/(1+x)]}/[(1+x)·2x+x²],再上下求导
=e·lim[x→0] [1-ln(1+x)-1]/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] ln(1+x)/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] 1/(1+x)/(2+6x),再上下求导
=e·-lim[x→0] 1/[(1+x)(2+6x)],此时不为0/0形式,可以代入数值
=e·-1/[(1+0)(2+0)]
=e·-1/2
=-e/2
分子 lim[x→0] (1+x)^(1/x)-e=lim[x→0] (1+x)^(1/x) -e=e-e=0
分母 lim[x→0] x=0
所以题目属于0/0形式,适合用洛必达法则:
首先求(1+x)^(1/x)的导数
设y=(1+x)^(1/x)
lny=ln(1+x)/x,两边对x求导
1/y·y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
1/y·y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²(1+x)
y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
lim[x→0] [(1+x)^(1/x)-e]/x,上下分别求导,分母x的导数是1,e的导数是0,所以剩余的就是(1+x)^(1/x)的导数
=lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
=lim[x→0] (1+x)^(1/x)·lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
=e·lim[x→0] {1-[ln(1+x)+(1+x)·1/(1+x)]}/[(1+x)·2x+x²],再上下求导
=e·lim[x→0] [1-ln(1+x)-1]/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] ln(1+x)/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] 1/(1+x)/(2+6x),再上下求导
=e·-lim[x→0] 1/[(1+x)(2+6x)],此时不为0/0形式,可以代入数值
=e·-1/[(1+0)(2+0)]
=e·-1/2
=-e/2
lim(x→0)【(1+x)^x-e】/x=?刚学高数 ,
lim(x→0)[e^x-e^(-x)]/sinx=?
求极限 ①lim x→n- (x-[x]) ②lim x→e log(x-1)/x-e ③limx→0+ log x^x
lim (x→0) (e^x-x)^(1/sinx)
lim(x→0)(1-x^2-e^-x)/sinx
设函数f x=e^2x-2x,lim f'(x)/e^x -1等于 ,x→0
极限公式 lim(1+1/x)^x=e x->∞ lim(1+x)^(1/x)=e x->0
Lim(x/e)^((x-e)^-1),x→e
lim(x→0)[x^2/(e^x-x-1)]的极限
(x → 0 时) lim (x+e^x)^1/x谁会?
lim(x->0+) e^(1/x)
求极限 lim x-->0 (e^x-e^sinx)/(x^2+x)ln(1+x)arcsinx=?