(2010•西城区二模)在△ABC中,点P为BC的中点.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/28 06:11:09
(2010•西城区二模)在△ABC中,点P为BC的中点.
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(1)如图1,求证:AP<
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(1)如图1,求证:AP<
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∵BP=PC;
∴四边形ABHC是平行四边形;
∴AB=HC;
在△ACH中,AH<HC+AC;
∴2AP<AB+AC;
即AP<
1
2(AB+AC)
(2)①答:BE=2AP.
证明:过B作BH∥AE交DE于H,连接CH、AH;
∴∠1=∠BAC=60°;
∵DB=AC,AB=CE,
∴AD=AE,
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∴△AED是等边三角形,
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°;
∴△BDH是等边三角形;
∴BD=DH=BH=AC;
∴四边形ABHC是平行四边形;
∵点P是BC的中点,
∴点P是四边形ABHC对角线AH、BC的交点,
∴点A,P,H共线,
∴AH=2AP;
在△ADH和△EDB中,
AD=ED
∠D=∠D
DH=DB;
∴△ADH≌△EDB;
∴AH=BE=2AP;
②证明:分两种情况:
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ⅰ)当AB=AC时,
∴AB=AC=DB=CE;
∴BC=
1
2DE;
ⅱ)当AB≠AC时,
以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC(如图)
∴DB=GC=AC,∠BAC=∠1,BC=DG,
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/09/5099a71d6865f1ad592ed55cd5933c6b.jpg)
∵AB=CE;
∴△ABC≌△CEG;
∴BC=EG=DG;
在△DGE中,DG+GE>DE;
∴2BC>DE,即BC>
1
2DE;
综上所述,BC≥
1
2DE.
(2010•西城区二模)在△ABC中,点P为BC的中点.
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