任何有n阶导数的函数都有泰勒级数的表达吗
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 20:19:19
任何有n阶导数的函数都有泰勒级数的表达吗
有.但f(x)的泰勒级数未必收敛于函数f(x),那么这样的泰勒级数也没有讨论的意义,所以从函数f(x)的泰勒级数是否收敛于f(x)这个角度来说,函数只有“可导”的条件是不足以保证泰勒级数存在的.
例如f(x)=
e^(-1/x^2),x≠0
0,x=0
函数f(x)在x=0处的函数值是0,任意阶导数也存在,都是0,所以f(x)在x=0处的泰勒级数是:0+0×x+0×x^2+……+0×x^n+……,很显然,泰勒级数不收敛于f(x).
所以要保证函数f(x)在x0处的泰勒级数在(x0-R,x0+R)内收敛于f(x)需要的条件是f(x)在x0处的泰勒公式的余项一致收敛于0
例如f(x)=
e^(-1/x^2),x≠0
0,x=0
函数f(x)在x=0处的函数值是0,任意阶导数也存在,都是0,所以f(x)在x=0处的泰勒级数是:0+0×x+0×x^2+……+0×x^n+……,很显然,泰勒级数不收敛于f(x).
所以要保证函数f(x)在x0处的泰勒级数在(x0-R,x0+R)内收敛于f(x)需要的条件是f(x)在x0处的泰勒公式的余项一致收敛于0
任何有n阶导数的函数都有泰勒级数的表达吗
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