n阶矩阵的特征值问题1:假设,λ1是n阶实矩阵A的一重特征根,能否证明 秩(λ1E-A)=n-1呢?并请说明原因.2:假
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 13:22:34
n阶矩阵的特征值问题
1:假设,λ1是n阶实矩阵A的一重特征根,能否证明
秩(λ1E-A)=n-1呢?并请说明原因.
2:假设,λ1是n阶实对称矩阵A的k重特征根,如何证明
秩(λ1E-A)=n-k呢?请说明原因.
1:假设,λ1是n阶实矩阵A的一重特征根,能否证明
秩(λ1E-A)=n-1呢?并请说明原因.
2:假设,λ1是n阶实对称矩阵A的k重特征根,如何证明
秩(λ1E-A)=n-k呢?请说明原因.
A 可对角化,则
A=P^(-1)λP
则
(λ1E-A)=λ1E-P^(-1)λP
=P^(-1)(λ1-λi)P
说明:
λ为A对角化后的对角矩阵.P为对应的特征向量,
(λ1-λi)表示:对角线上分别是λ1-λ1,λ1-λ2,...λ1-λi的对角矩阵.
所以,显然因为λ1-λ1=0.则可知P^(-1)(λ1-λi)P的第一行全为0,其余的因为各个特征值不等,则不为零则
可知P^(-1)(λ1-λi)P的秩为n-1
即秩(λ1E-A)=n-1
同理对于λ1是n阶实对称矩阵A的k重特征根,则有k行均为0.
所以秩(λ1E-A)=n-k
A=P^(-1)λP
则
(λ1E-A)=λ1E-P^(-1)λP
=P^(-1)(λ1-λi)P
说明:
λ为A对角化后的对角矩阵.P为对应的特征向量,
(λ1-λi)表示:对角线上分别是λ1-λ1,λ1-λ2,...λ1-λi的对角矩阵.
所以,显然因为λ1-λ1=0.则可知P^(-1)(λ1-λi)P的第一行全为0,其余的因为各个特征值不等,则不为零则
可知P^(-1)(λ1-λi)P的秩为n-1
即秩(λ1E-A)=n-1
同理对于λ1是n阶实对称矩阵A的k重特征根,则有k行均为0.
所以秩(λ1E-A)=n-k
n阶矩阵的特征值问题1:假设,λ1是n阶实矩阵A的一重特征根,能否证明 秩(λ1E-A)=n-1呢?并请说明原因.2:假
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