已知定义在R上的函数f(x)＝b−2x2x+a是奇函数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/02 16:01:12

已知定义在R上的函数f(x)＝

b−2

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝
b−1
a+1＝0，
解得b=1，（1分）
∴f(x)＝
1−2x
a+2x，
∴f(−x)＝
1−2−x
a+2−x＝
2x−1
a•2x+1＝−f(x)＝
2x−1
a+2x
∴a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1对一切实数x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴f(x)＝
1−2x
1+2x＝
2
1+2x−1，
f（x）在R上是减函数．（4分）
证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x1)−f(x2)＝
2
1+2x1−
2
1+2x2
=-
2(2x1−2x2)
(1+2x1)(1+2x2)，
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t²）＞-f（-k），
∴f（t-2t²）＞f（k），
∵f（x）是R上的减函数，
∴t-2t²＜k（10分）
∴k＞t−2t2＝−2(t−
1
4)2+
1
8对t∈R恒成立，
∴k＞
1
8．（12分）

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