求函数f(x)=x^3+3x^2的一个对称中心
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/04 17:39:17
求函数f(x)=x^3+3x^2的一个对称中心
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f(x)上任意一点可用(x,x^3+3x^2)表示.
设点A(x0,y0)(0是下标)是f(x)的对称中心,
那么(x,x^3+3x^2)关于点A的对称点
也就是(2 x0 - x,2 y0 - (x^3+3x^2) )也在函数图像上,
即此点满足函数表达式,所以
2 y0 - (x^3+3x^2) = (2 x0 - x)^3 + 3 (2 x0 - x)^2对任意x恒成立.
化简,得
6 (x0 + 1) x^2 - 12 x0 (x0 + 1) x + (8 x0 ^3 + 12 x0 ^2 - 2 y0) = 0
对任意x恒成立.
这就要求x^2、x的系数和常数项都是0,即
6 (x0 + 1) = 0
- 12 x0 (x0 + 1) = 0
8 x0 ^3 + 12 x0 ^2 - 2 y0 =0
解得 x0 = -1 , y0 = 2
对称中心是(-1,2)
设点A(x0,y0)(0是下标)是f(x)的对称中心,
那么(x,x^3+3x^2)关于点A的对称点
也就是(2 x0 - x,2 y0 - (x^3+3x^2) )也在函数图像上,
即此点满足函数表达式,所以
2 y0 - (x^3+3x^2) = (2 x0 - x)^3 + 3 (2 x0 - x)^2对任意x恒成立.
化简,得
6 (x0 + 1) x^2 - 12 x0 (x0 + 1) x + (8 x0 ^3 + 12 x0 ^2 - 2 y0) = 0
对任意x恒成立.
这就要求x^2、x的系数和常数项都是0,即
6 (x0 + 1) = 0
- 12 x0 (x0 + 1) = 0
8 x0 ^3 + 12 x0 ^2 - 2 y0 =0
解得 x0 = -1 , y0 = 2
对称中心是(-1,2)
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