虚数的实际意义到底是什么?比如"根号下-2",在科学上到底有什么实际意义?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/23 13:07:10
虚数的实际意义
到底是什么?比如"根号下-2",在科学上到底有什么实际意义?
到底是什么?比如"根号下-2",在科学上到底有什么实际意义?
大多数人最为熟悉的数有两种,即正数(+5,
+17.5)和负数(-5,-17.5).负数是在中世
纪出现的,它用来处理3-5这类问题.从古代人看来,要
从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的.但是,中世纪
的商人却已经清楚地认识到欠款的概念.“请你给我五个苹
果,可是我只有三个苹果的钱,这样我还欠你两个苹果的钱.”
这就等于说:(+3)-(+5)=(-2).
正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘.正数乘
正数,其乘积为正.正数乘负数,其乘积为负.最重要的是,
负数乘负数,其乘积为正.
因此,(+1)×(+1)=(+1);
(+1)×(-1)=(-1);
(-1)×(-1)=(+1).
现在假定我们自问:什么数自乘将会得出+1?或者用
数学语言来说,+1的平方根是多少?
这一问题有两个答案.一个答案是+1,因为(+1)
×(+1)=(+1);另一个答案则是-1,因为(-1)
×(-1)=(+1).数学家是用√ ̄(+1)=±1来
表示这一答案的.(碧声注:(+1)在根号下)
现在让我们进一步提出这样一个问题:-1的平方根是
多少?
对于这个问题,我们感到有点为难.答案不是+1,因
为+1的自乘是+1;答案也不是-1,因为-1的自乘同
样是+1.当然,(+1)×(-1)=(-1),但这是
两个不同的数的相乘,而不是一个数的自乘.
这样,我们可以创造出一个数,并给它一个专门的符号,
譬如说#1,而且给它以如下的定义:#1是自乘时会得出
-1的数,即(#1)×(#1)=(-1).当这种想法
刚提出来时,数学家都把这种数称为“虚数”,这只是因为
这种数在他们所习惯的数系中并不存在.实际上,这种数一
点也不比普通的“实数”更为虚幻.这种所谓“虚数”具有
一些严格限定的属性,而且和一般实数一样,也很容易处理.
但是,正因为数学家感到这种数多少有点虚幻,所以给
这种数一个专门的符号“i”(imaginary).我们可以把正
虚数写为(+i),把负虚数写为(-i),而把+1看作
是一个正实数,把(-1)看作是一个负实数.因此我们可
以说√ ̄(-1)=±i.
实数系统可以完全和虚数系统对应.正如有+5,
-17.32,+3/10等实数一样,我们也可以有
+5i,-17.32i,+3i/10等虚数.
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来.
假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数
系统,那么,位于0点某一侧的是正实数,位于0点另一侧
的就是负实数.
这样,当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线
时,你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来.第二条直
线上0点的一侧的数是正虚数,0点另一侧的数是负虚数.
这样一来,同时使用这两种数系,就可以在这个平面上把所
有的数都表示出来.例如(+2)+(+3i)或
(+3)+(-2i).这些数就是“复数”.
数学家和物理学家发现,把一个平面上的所有各点同数
字系统彼此联系起来是非常有用的.如果没有所谓虚数,他
们就无法做到这一点了.
+17.5)和负数(-5,-17.5).负数是在中世
纪出现的,它用来处理3-5这类问题.从古代人看来,要
从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的.但是,中世纪
的商人却已经清楚地认识到欠款的概念.“请你给我五个苹
果,可是我只有三个苹果的钱,这样我还欠你两个苹果的钱.”
这就等于说:(+3)-(+5)=(-2).
正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘.正数乘
正数,其乘积为正.正数乘负数,其乘积为负.最重要的是,
负数乘负数,其乘积为正.
因此,(+1)×(+1)=(+1);
(+1)×(-1)=(-1);
(-1)×(-1)=(+1).
现在假定我们自问:什么数自乘将会得出+1?或者用
数学语言来说,+1的平方根是多少?
这一问题有两个答案.一个答案是+1,因为(+1)
×(+1)=(+1);另一个答案则是-1,因为(-1)
×(-1)=(+1).数学家是用√ ̄(+1)=±1来
表示这一答案的.(碧声注:(+1)在根号下)
现在让我们进一步提出这样一个问题:-1的平方根是
多少?
对于这个问题,我们感到有点为难.答案不是+1,因
为+1的自乘是+1;答案也不是-1,因为-1的自乘同
样是+1.当然,(+1)×(-1)=(-1),但这是
两个不同的数的相乘,而不是一个数的自乘.
这样,我们可以创造出一个数,并给它一个专门的符号,
譬如说#1,而且给它以如下的定义:#1是自乘时会得出
-1的数,即(#1)×(#1)=(-1).当这种想法
刚提出来时,数学家都把这种数称为“虚数”,这只是因为
这种数在他们所习惯的数系中并不存在.实际上,这种数一
点也不比普通的“实数”更为虚幻.这种所谓“虚数”具有
一些严格限定的属性,而且和一般实数一样,也很容易处理.
但是,正因为数学家感到这种数多少有点虚幻,所以给
这种数一个专门的符号“i”(imaginary).我们可以把正
虚数写为(+i),把负虚数写为(-i),而把+1看作
是一个正实数,把(-1)看作是一个负实数.因此我们可
以说√ ̄(-1)=±i.
实数系统可以完全和虚数系统对应.正如有+5,
-17.32,+3/10等实数一样,我们也可以有
+5i,-17.32i,+3i/10等虚数.
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来.
假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数
系统,那么,位于0点某一侧的是正实数,位于0点另一侧
的就是负实数.
这样,当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线
时,你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来.第二条直
线上0点的一侧的数是正虚数,0点另一侧的数是负虚数.
这样一来,同时使用这两种数系,就可以在这个平面上把所
有的数都表示出来.例如(+2)+(+3i)或
(+3)+(-2i).这些数就是“复数”.
数学家和物理学家发现,把一个平面上的所有各点同数
字系统彼此联系起来是非常有用的.如果没有所谓虚数,他
们就无法做到这一点了.