作业帮线性代数的一个问题：已知矩阵A,AX＝0,且A的列向量均线性无关,则X＝0.这里X为什么等于0呢?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/03 07:58:00
线性代数的一个问题：已知矩阵A,AX＝0,且A的列向量均线性无关,则X＝0.这里X为什么等于0呢?
这个结论是一个比较明显的结论,可以直接去用,不过证起来其实挺麻烦.
首先X=0是方程组的解,这个是显然的,下面来证X=0是唯一解
分三种情况：
1、若A为方阵,这个比较简单,由于列向量组线性无关,因此A可逆,两边同时左乘A逆,可得结论,方程组只有零解；
2、若A的列数大于行数,此时我们会发现这个列向量组中,向量个数是大于向量维数的,根据向量组的性质,这种向量组必线性相关,因此这种情况不会发生；
3、若A的行数大于列数,设列数为n,则行数大于n,此时的行向量组必线性相关,从行向量组中选取极大线性无关组,极大线性无关组的个数一定为n（因为矩阵的行秩与列秩相等）,将极大线性无关组对应的方程留下,其余的方程删去,这样方程组就变成了第一种情形了.因此只有零解.
首先X=0是方程组的解,这个是显然的,下面来证X=0是唯一解
分三种情况：
1、若A为方阵,这个比较简单,由于列向量组线性无关,因此A可逆,两边同时左乘A逆,可得结论,方程组只有零解；
2、若A的列数大于行数,此时我们会发现这个列向量组中,向量个数是大于向量维数的,根据向量组的性质,这种向量组必线性相关,因此这种情况不会发生；
3、若A的行数大于列数,设列数为n,则行数大于n,此时的行向量组必线性相关,从行向量组中选取极大线性无关组,极大线性无关组的个数一定为n（因为矩阵的行秩与列秩相等）,将极大线性无关组对应的方程留下,其余的方程删去,这样方程组就变成了第一种情形了.因此只有零解.
线性代数的一个问题：已知矩阵A,AX＝0,且A的列向量均线性无关,则X＝0.这里X为什么等于0呢?
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