已知函f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 09:24:26
已知函f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围;
(3)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,试求实数m的值.
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围;
(3)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,试求实数m的值.
(1)因为f′(x)=2x-
8
x,所以切线的斜率k=f′(x)=-6
又f(1)=1,故所求切线方程为y-1=-6(x-1)即y=-6x+7.
(2)f′(x)=2x−
8
x=
2(x+2)(x−2)
x(x>0)
当0<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,
要使f(x)在(a,a+1)上递增,必须a≥2g(x)=-x2+14x=-(x-7)2+49
如使g(x)在(a,a+1)上递增,必须a+1≤7,即a≤6
由上得出,当2≤a≤6时f(x),g(x)在(a,a+1)上均为增函数
(3)方程f(x)=g(x)+m有唯一解 ⇔
y=m
y=2x2−8lnx−14x有唯一解
设h(x)=2x2-8lnx-14x
h′(x)=4x−
8
x−14=
2
x(2x+1)(x−4)(x>0)h'(x),h(x)随x变化如下表
x (0,4) 4 (4,+∞)
h'(x) - 0 +
h(x) ↘ 极小值-24-16ln2 ↗由于在(0,+∞)上,h(x)只有一个极小值,
∴h(x)的最小值为-24-16ln2,
当m=-24-16ln2时,方程f(x)=g(x)+m有唯一解.
8
x,所以切线的斜率k=f′(x)=-6
又f(1)=1,故所求切线方程为y-1=-6(x-1)即y=-6x+7.
(2)f′(x)=2x−
8
x=
2(x+2)(x−2)
x(x>0)
当0<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,
要使f(x)在(a,a+1)上递增,必须a≥2g(x)=-x2+14x=-(x-7)2+49
如使g(x)在(a,a+1)上递增,必须a+1≤7,即a≤6
由上得出,当2≤a≤6时f(x),g(x)在(a,a+1)上均为增函数
(3)方程f(x)=g(x)+m有唯一解 ⇔
y=m
y=2x2−8lnx−14x有唯一解
设h(x)=2x2-8lnx-14x
h′(x)=4x−
8
x−14=
2
x(2x+1)(x−4)(x>0)h'(x),h(x)随x变化如下表
x (0,4) 4 (4,+∞)
h'(x) - 0 +
h(x) ↘ 极小值-24-16ln2 ↗由于在(0,+∞)上,h(x)只有一个极小值,
∴h(x)的最小值为-24-16ln2,
当m=-24-16ln2时,方程f(x)=g(x)+m有唯一解.
已知函f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x
已知函数f(x)=lnx, g(x)=1/2x2
已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.
已知函数f(x)=-x2+8x g(x)=6lnX+m
已知函数f(x)=x2-lnx.
已知函数f(x)=x2+lnx.
已知f(x)=lnx+x2-bx.
已知函数f(x)=lnx+x2+ax.
已知函数f(x)=12x2+lnx.
已知函数f(x)=lnx+x2.
f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2=14(x2就是x的平方),f(x)=g(x)+m有唯一解,求m
已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x)..