作业帮证明e-1是无理数
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 15:47:07
证明e-1是无理数
证明e-1是无理数,也就是证明e是无理数
要用到e的幂级数展开式哈,不知道你们学习没有?
我们知道
e=1+1/1!+1/2!+...+1/n!+...(*)
如果是有理数,那么它可以写作e=p/q.把(*)式两边乘q!,
p(q-1)!=q!(1+1/1!+1/2!+...+1/q!)+q!(1/(q+1)!+1/(q+2)!+...)
上式的左边是整数,右边第一部分也是整数,所以右边第二部分
R = q!(1/(q+1)!+1/(q+2)!+...)
也是应该是整数.可是
R = 1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+1/(q+1)(q+2)(q+3)(q+4)+.
..
= (1/(q+1))(1+1/(q+2)+1/(q+2)(q+3)+1/(q+2)(q+3)(q+4)+...)
< (1/(q+1))(1+1/(q+1)+1/(q+1)^2 +1/(q+1)^3 +...)
由等比数列和公式,
R < (1/(q+1))(1/(1-1/(q+1)))
= (1/(q+1))((q+1)/q)
= 1/q
另外R>0.所以R不能是整数.矛盾,证毕.
综上,e是无理数则e-1是无理数.
要用到e的幂级数展开式哈,不知道你们学习没有?
我们知道
e=1+1/1!+1/2!+...+1/n!+...(*)
如果是有理数,那么它可以写作e=p/q.把(*)式两边乘q!,
p(q-1)!=q!(1+1/1!+1/2!+...+1/q!)+q!(1/(q+1)!+1/(q+2)!+...)
上式的左边是整数,右边第一部分也是整数,所以右边第二部分
R = q!(1/(q+1)!+1/(q+2)!+...)
也是应该是整数.可是
R = 1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+1/(q+1)(q+2)(q+3)(q+4)+.
..
= (1/(q+1))(1+1/(q+2)+1/(q+2)(q+3)+1/(q+2)(q+3)(q+4)+...)
< (1/(q+1))(1+1/(q+1)+1/(q+1)^2 +1/(q+1)^3 +...)
由等比数列和公式,
R < (1/(q+1))(1/(1-1/(q+1)))
= (1/(q+1))((q+1)/q)
= 1/q
另外R>0.所以R不能是整数.矛盾,证毕.
综上,e是无理数则e-1是无理数.