作业帮大学课本对概率定义错了把?我证伪了
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/10/04 20:45:00
大学课本对概率定义错了把?我证伪了
我是浙大三版的《概率论与数理统计》,上面这么定义的：
概率的公理化定义：
设E是随机试验,S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋于一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P(·)满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A,有P(A)≥0;
（2）规范性：对于必然事件S,有P(S)=1;
（3）可列可加性：设A1,A2……是两两互不相容的事件,即对于i≠j,Ai∩Aj=φ,（i,j=1,2……）,则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
证伪：现在投硬币.按照这一定义,我设置一个P(·),使它对正和反分别赋予0.1和0.9两个实数.则这个P(·)同样满足非负性（0.9>0.1>=0）,规范性(P(S)=0.1+0.9=1),可列可加性(P(正∪反)=0.1+0.9).可是谁都知道0.1和0.9并不是正和反的概率.这就证伪了.我知道其实是我没理解的概率更大,那就请各位把我对上述定义理解缺失的地方补上（或者同意我是对的）.
1.如果那些只是必要条件不是充要条件.怎么能当定义?只是必要条件的话那就该叫性质,而不叫定义
2.“如果集合函数P(·)满足下列条件”.这个如果后面竟然没有“那么”,这只能理解为倒装句,把"when"译成了"如果",而按中文语法倒装该译成"如果...的话".
3.概率还有个统计定义,是说重复试验频率的无穷极限值.而上面这个公理化定义则完全不提试验,样本,频率等赋予实数方式的概念.只说“赋予实数”而不限定“怎么赋予”,那么我爱怎么赋予都行,比如说我设置P(·)=某一面的数字和/10,则一面是1￥/10=0.1,一面是(2+0+0+7)/10=0.9.
4.也可能这本来就不是概率的公理化定义,而是被课本和谐过的假定义,真定义似乎还涉及测度空间等其它数学分支的理论.
经调研，书上那公理化定义就是源自柯尔莫哥洛夫公理化系统，只是做了简化，本质不变，原定义也同样没有限定“如何赋值”,是原本从柯尔莫哥洛夫开始就有争议。
佐证1:http://www.cqvip.com/qk/95040X/199402/1463563.html
柯尔莫哥洛夫公理系统的外部矛盾性及合理的概率论公理系统,,,,,,文章出处:《上海工业大学学报》-1994年15卷2期 -110-117页
佐证2：http://jpkc.scau.edu.cn/dxsx/FileMng/showpic/200662423344_%B8%C5%C2%CA%B5%C4%B6%A8%D2%E5%CA%C7%CA%B2%C3%B4.doc
凯恩斯，他认为概率是对一个命题用其他方面的知识作出判断后获得的一种合理的信任程度。。。。。他的说法和看法，引出了后来的“主观学派”。在我们现在的教材上也提到了主观概率这个说法，大概就是从这里引进的吧。。。给定一个随机试验。。。满足下列三条公理，那么称P（A）为事件A的概率。非负性规范性可列可加性.美国教材在一开始就说：“概率这一术语没有一个能被所有统计学家都接受的科学的解释…..。某些人提出的解释就被另一些人所批评概率的真实含义自然是一个非常有争议的对象…..”在这本教材回避了自己的看法，没有对概率下一个定义。在各国的教材中，对概率的解释是不同的
我是浙大三版的《概率论与数理统计》,上面这么定义的：
概率的公理化定义：
设E是随机试验,S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋于一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P(·)满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A,有P(A)≥0;
（2）规范性：对于必然事件S,有P(S)=1;
（3）可列可加性：设A1,A2……是两两互不相容的事件,即对于i≠j,Ai∩Aj=φ,（i,j=1,2……）,则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
证伪：现在投硬币.按照这一定义,我设置一个P(·),使它对正和反分别赋予0.1和0.9两个实数.则这个P(·)同样满足非负性（0.9>0.1>=0）,规范性(P(S)=0.1+0.9=1),可列可加性(P(正∪反)=0.1+0.9).可是谁都知道0.1和0.9并不是正和反的概率.这就证伪了.我知道其实是我没理解的概率更大,那就请各位把我对上述定义理解缺失的地方补上（或者同意我是对的）.
1.如果那些只是必要条件不是充要条件.怎么能当定义?只是必要条件的话那就该叫性质,而不叫定义
2.“如果集合函数P(·)满足下列条件”.这个如果后面竟然没有“那么”,这只能理解为倒装句,把"when"译成了"如果",而按中文语法倒装该译成"如果...的话".
3.概率还有个统计定义,是说重复试验频率的无穷极限值.而上面这个公理化定义则完全不提试验,样本,频率等赋予实数方式的概念.只说“赋予实数”而不限定“怎么赋予”,那么我爱怎么赋予都行,比如说我设置P(·)=某一面的数字和/10,则一面是1￥/10=0.1,一面是(2+0+0+7)/10=0.9.
4.也可能这本来就不是概率的公理化定义,而是被课本和谐过的假定义,真定义似乎还涉及测度空间等其它数学分支的理论.
经调研，书上那公理化定义就是源自柯尔莫哥洛夫公理化系统，只是做了简化，本质不变，原定义也同样没有限定“如何赋值”,是原本从柯尔莫哥洛夫开始就有争议。
佐证1:http://www.cqvip.com/qk/95040X/199402/1463563.html
柯尔莫哥洛夫公理系统的外部矛盾性及合理的概率论公理系统,,,,,,文章出处:《上海工业大学学报》-1994年15卷2期 -110-117页
佐证2：http://jpkc.scau.edu.cn/dxsx/FileMng/showpic/200662423344_%B8%C5%C2%CA%B5%C4%B6%A8%D2%E5%CA%C7%CA%B2%C3%B4.doc
凯恩斯，他认为概率是对一个命题用其他方面的知识作出判断后获得的一种合理的信任程度。。。。。他的说法和看法，引出了后来的“主观学派”。在我们现在的教材上也提到了主观概率这个说法，大概就是从这里引进的吧。。。给定一个随机试验。。。满足下列三条公理，那么称P（A）为事件A的概率。非负性规范性可列可加性.美国教材在一开始就说：“概率这一术语没有一个能被所有统计学家都接受的科学的解释…..。某些人提出的解释就被另一些人所批评概率的真实含义自然是一个非常有争议的对象…..”在这本教材回避了自己的看法，没有对概率下一个定义。在各国的教材中，对概率的解释是不同的
这个定义本身是非常严密的,但它完全不能用于计算概率!
你的质疑是似乎根据这个定义我们可以对某事件的概率进行任意赋值,这不合常理.
这就在于你对它作用的理解了,概率的公理化定义的作用是它对概率论的推导体系起到一个基底的作用,它在实际计算中只是作为一个定性的判定法则.所谓“赋值”不是赋[0,1]上的任意值,我们只能根据实际观测或使用古典概率的定义等计算出某一个参量P(A)后再将其赋入公理化定义以判断参量P（A）是否具备作为概率而应有的3条广义性质.
由此可知,概率的公理化定义只是规定了概率这个概念所必须满足的基本性质,它没有也不可能解决在特定场合下如何定出概率的问题．这一定义的意义在于它为一种普遍而严格的概率理论奠定了基础．
一楼的朋友解释也是异曲同工,即“参量P(A)具备公理化定义中的性质”是“事件A的概率为P(A)”的必要而不充分条件.
总之赋值是依据概率的其它定义或实际观测试验而得到,而非随意（主观）的代值.
现有概率的定义确实是“各有所好”,有的定义帮助我们理解概率的实际意义,有的帮助我们具体计算出概率值,有的则是注重概率的性质.
正如你所查到的资料所述,数学界对概率一词没有一个公共定义,这是为什么?
为了解释这个疑问我也查找了国外真正的学术专业百科（WIKI百科,注意由于我不在国内,因此我不知道国内的所有电信是否都允许使用这个大百科网站,因为此百科中包罗一些在中国大陆不允许发表的史料）中对概率的解释,有一篇篇名叫做《Probability interpretations》我将其翻译为《对概率的解释》,其第一段如下：
The word probability has been used in a variety of ways since it was first coined in relation to games of chance. Does probability measure the real, physical tendency of something to occur, or is it just a measure of how strongly one believes it will occur? In answering such questions, we interpret the probability values of probability theory.
我的大概翻译：自从它最初被联系到一类与几率有关的游戏时,使用“概率”一词的方法一直都是众多类型的,（译注：个人认为这句话说明人们对概率一词在不同场合的解释是不同的）那么概率到底是表示事情实际发生的客观可能性（倾向）还是表示某人对事件一定会发生的主观相信程度?
为了回答这类问题,我们来解释概率论中的概率值.
There are two broad categories of probability interpretations which can be called 'physical' and 'evidential' probabilities. Physical probabilities, which are also called objective or frequency probabilities, are associated with random physical systems such as roulette wheels, rolling dice and radioactive atoms. In such systems, a given type of event (such as the dice yielding a six) tends to occur at a persistent rate, or 'relative frequency', in a long run of trials. Physical probabilities either explain, or are invoked to explain, these stable frequencies. Thus talk about physical probability makes sense only when dealing with well defined random experiments. The two main kinds of theory of physical probability are frequentist accounts (such as those of Venn, Reichenbach and von Mises) and propensity accounts (such as those of Popper, Miller, Giere and Fetzer).
我的大概翻译：目前对概率的解释广泛流传着两类,第一类是将概率定为“实际概率”或称“频率概率”,“实际概率”是与十分典型的随机事件联系在一起的,这些事件如轮盘赌博,掷6点shai子以及原子核衰变的几率等,在对某个随机事件相当长期的观测中,得到一个稳定的频率值,因此“实际概率”要么用于解释,或者用于牵强的解释这个稳定的客观频率值的出现,“实际概率”本身也有两套不同学派对其提出的理论体系,一类叫做“频率计算”（如Venn, Reichenbach 和von Mises的理论）,另一类叫做“偏爱计算”(如 Popper, Miller, Giere 和 Fetzer的理论）
Evidential probability, also called Bayesian probability, can be assigned to any statement whatsoever, even when no random process is involved, as a way to represent its subjective plausibility, or the degree to which the statement is supported by the available evidence. On most accounts, evidential probabilities are considered to be degrees of belief, defined in terms of dispositions to gamble at certain odds. The four main evidential interpretations are the classical (e.g. Laplace's) interpretation, the subjective interpretation (de Finetti and Savage), the epistemic or inductive interpretation (Ramsey, Cox) and the logical interpretation (Keynes and Carnap).
另一类对概率的解释叫做“迹象概率”,它的学名叫做“Bayesian概率”,这个概率可以被赋予任何值,甚至在事件不是随机的情况下也可以随意赋值,这是一种表达个人主观信任度的方法,这种概率被4类不同学派赋予不同的意义：1,古典解释（如拉普拉斯的）,2,主观解释（如de Finetti 和Savage）,3,归纳解释（Ramsey和 Cox）,4,逻辑解释（Keynes和Carnap）
个人译注:以上两段可以说从侧面回答了你的问题,即任何一个概率的定义都是有适用范围和定义的目的的,在不同场合我们可以采用不同的定义标准对概率值定出一个客观或主观或其它的某个值,这就说明概率的公理化定义是不涉及如何对概率赋值的,它只是揭示人们用种种概率的不同定义对概率赋值的不同结果所应该具有的通性,这就是公理二字的含义!概率赋值是通过专门的对一个事件有针对性的概率定义而得到的.那么侧重于概率赋值法的不同定义在此文的后几段列举了典例：
Classical definition
Frequentism
Logical, Epistemic and Inductive Probability
Propensity
Subjectivism
Practical controversy
Axiomatic probability（即公理化概率）
你的质疑是似乎根据这个定义我们可以对某事件的概率进行任意赋值,这不合常理.
这就在于你对它作用的理解了,概率的公理化定义的作用是它对概率论的推导体系起到一个基底的作用,它在实际计算中只是作为一个定性的判定法则.所谓“赋值”不是赋[0,1]上的任意值,我们只能根据实际观测或使用古典概率的定义等计算出某一个参量P(A)后再将其赋入公理化定义以判断参量P（A）是否具备作为概率而应有的3条广义性质.
由此可知,概率的公理化定义只是规定了概率这个概念所必须满足的基本性质,它没有也不可能解决在特定场合下如何定出概率的问题．这一定义的意义在于它为一种普遍而严格的概率理论奠定了基础．
一楼的朋友解释也是异曲同工,即“参量P(A)具备公理化定义中的性质”是“事件A的概率为P(A)”的必要而不充分条件.
总之赋值是依据概率的其它定义或实际观测试验而得到,而非随意（主观）的代值.
现有概率的定义确实是“各有所好”,有的定义帮助我们理解概率的实际意义,有的帮助我们具体计算出概率值,有的则是注重概率的性质.
正如你所查到的资料所述,数学界对概率一词没有一个公共定义,这是为什么?
为了解释这个疑问我也查找了国外真正的学术专业百科（WIKI百科,注意由于我不在国内,因此我不知道国内的所有电信是否都允许使用这个大百科网站,因为此百科中包罗一些在中国大陆不允许发表的史料）中对概率的解释,有一篇篇名叫做《Probability interpretations》我将其翻译为《对概率的解释》,其第一段如下：
The word probability has been used in a variety of ways since it was first coined in relation to games of chance. Does probability measure the real, physical tendency of something to occur, or is it just a measure of how strongly one believes it will occur? In answering such questions, we interpret the probability values of probability theory.
我的大概翻译：自从它最初被联系到一类与几率有关的游戏时,使用“概率”一词的方法一直都是众多类型的,（译注：个人认为这句话说明人们对概率一词在不同场合的解释是不同的）那么概率到底是表示事情实际发生的客观可能性（倾向）还是表示某人对事件一定会发生的主观相信程度?
为了回答这类问题,我们来解释概率论中的概率值.
There are two broad categories of probability interpretations which can be called 'physical' and 'evidential' probabilities. Physical probabilities, which are also called objective or frequency probabilities, are associated with random physical systems such as roulette wheels, rolling dice and radioactive atoms. In such systems, a given type of event (such as the dice yielding a six) tends to occur at a persistent rate, or 'relative frequency', in a long run of trials. Physical probabilities either explain, or are invoked to explain, these stable frequencies. Thus talk about physical probability makes sense only when dealing with well defined random experiments. The two main kinds of theory of physical probability are frequentist accounts (such as those of Venn, Reichenbach and von Mises) and propensity accounts (such as those of Popper, Miller, Giere and Fetzer).
我的大概翻译：目前对概率的解释广泛流传着两类,第一类是将概率定为“实际概率”或称“频率概率”,“实际概率”是与十分典型的随机事件联系在一起的,这些事件如轮盘赌博,掷6点shai子以及原子核衰变的几率等,在对某个随机事件相当长期的观测中,得到一个稳定的频率值,因此“实际概率”要么用于解释,或者用于牵强的解释这个稳定的客观频率值的出现,“实际概率”本身也有两套不同学派对其提出的理论体系,一类叫做“频率计算”（如Venn, Reichenbach 和von Mises的理论）,另一类叫做“偏爱计算”(如 Popper, Miller, Giere 和 Fetzer的理论）
Evidential probability, also called Bayesian probability, can be assigned to any statement whatsoever, even when no random process is involved, as a way to represent its subjective plausibility, or the degree to which the statement is supported by the available evidence. On most accounts, evidential probabilities are considered to be degrees of belief, defined in terms of dispositions to gamble at certain odds. The four main evidential interpretations are the classical (e.g. Laplace's) interpretation, the subjective interpretation (de Finetti and Savage), the epistemic or inductive interpretation (Ramsey, Cox) and the logical interpretation (Keynes and Carnap).
另一类对概率的解释叫做“迹象概率”,它的学名叫做“Bayesian概率”,这个概率可以被赋予任何值,甚至在事件不是随机的情况下也可以随意赋值,这是一种表达个人主观信任度的方法,这种概率被4类不同学派赋予不同的意义：1,古典解释（如拉普拉斯的）,2,主观解释（如de Finetti 和Savage）,3,归纳解释（Ramsey和 Cox）,4,逻辑解释（Keynes和Carnap）
个人译注:以上两段可以说从侧面回答了你的问题,即任何一个概率的定义都是有适用范围和定义的目的的,在不同场合我们可以采用不同的定义标准对概率值定出一个客观或主观或其它的某个值,这就说明概率的公理化定义是不涉及如何对概率赋值的,它只是揭示人们用种种概率的不同定义对概率赋值的不同结果所应该具有的通性,这就是公理二字的含义!概率赋值是通过专门的对一个事件有针对性的概率定义而得到的.那么侧重于概率赋值法的不同定义在此文的后几段列举了典例：
Classical definition
Frequentism
Logical, Epistemic and Inductive Probability
Propensity
Subjectivism
Practical controversy
Axiomatic probability（即公理化概率）