作业帮证明线性无关的一道题,求指教!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 23:46:57
证明线性无关的一道题,求指教!
设A是n阶方阵,X1,X2,X3是n维列向量,若AX1＝X1≠0,AX2＝X1＋X2,AX3＝X2＋X3,证明向量组X1,X2,X3线性无关.
设A是n阶方阵,X1,X2,X3是n维列向量,若AX1＝X1≠0,AX2＝X1＋X2,AX3＝X2＋X3,证明向量组X1,X2,X3线性无关.
设k1X1+k2X2+k3X3=0..（1）
A(k1X1+k2X2+k3X3)=k1AX1+k2AX2+k3AX3=k1X1+k2(X1+X2)+k3(X2+X3)=(k1+k2)X1+(k2+k3)X2+k3X3=0.（2）
联立方程（1）与方程（2）,两个方程相减,得k2X1+k3X2=0.（3）
A(k2X1+k3X2)=k2AX1+k3AX2=k2X1+k3(X1+X2)=(k2+k3)X1+k3X2=0.（4）
联立方程（3）与方程（4）,两个方程相减得k3X1=0,因为X1≠0,所以k3=0.
把k3=0代入（3）得到k2X1=0,因为X1≠0,所以k2=0.
把k2=k3=0代入（1）得到k1X1=0,因为X1≠0,所以k1=0.
所以由（1）只能得到k1=k2=k3=0,所以X1,X2,X3线性无关.
A(k1X1+k2X2+k3X3)=k1AX1+k2AX2+k3AX3=k1X1+k2(X1+X2)+k3(X2+X3)=(k1+k2)X1+(k2+k3)X2+k3X3=0.（2）
联立方程（1）与方程（2）,两个方程相减,得k2X1+k3X2=0.（3）
A(k2X1+k3X2)=k2AX1+k3AX2=k2X1+k3(X1+X2)=(k2+k3)X1+k3X2=0.（4）
联立方程（3）与方程（4）,两个方程相减得k3X1=0,因为X1≠0,所以k3=0.
把k3=0代入（3）得到k2X1=0,因为X1≠0,所以k2=0.
把k2=k3=0代入（1）得到k1X1=0,因为X1≠0,所以k1=0.
所以由（1）只能得到k1=k2=k3=0,所以X1,X2,X3线性无关.