如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC 1 D

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 01:33:23

（1）D₁ E=D₂ F．
∵C₁ D₁ ∥ C₂ D₂ ，
∴∠C₁ =∠AFD₂ ．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁ D₁ =C₂ D₂ =BD₂ =AD₁
∴∠C₁ =∠A，
∴∠AFD₂ =∠A
∴AD₂ =D₂ F．
同理：BD₁ =D₁ E．
又∵AD₁ =BD₂ ，
∴AD₂ =BD₁ ．
∴D₁ E=D₂ F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD₁ =BD₂ =C₁ D₁ =C₂ D₂ =5
又∵D₂ D₁ =x，
∴D₁ E=BD₁ =D₂ F=AD₂ =5-x．
∴C₂ F=C₁ E=x
在△BC₂ D₂ 中，C₂ 到BD₂ 的距离就是△ABC的AB边上的高，为
24
5 ．
设△BED₁ 的BD₁ 边上的高为h，
由探究，得△BC₂ D₂ ∽ △BED₁ ，
∴
h
24
5 =
5-x
5 ．
∴h=
24(5-x)
25 ．S_△BED1 =
1
2 ×BD₁ ×h=
12
25 （5-x）²
又∵∠C₁ +∠C₂ =90°，
∴∠FPC₂ =90度．
又∵∠C₂ =∠B，sinB=
4
5 ，cosB=
3
5 ．
∴PC₂ =
3
5 x，PF=
4
5 x，S_△FC2P =
1
2 PC₂ ×PF=
6
25 x²
而y=S_△BC2D2 -S_△BED1 -S_△FC2P =
1
2 S_△ABC -
12
25 （5-x）² -
6
25 x²
∴y=-
18
25 x² +
24
5 x（0≤x≤5）．

（3）存在．
当y=
1
4 S_△ABC 时，即-
18
25 x² +
24
5 x=6，
整理得3x² -20x+25=0．
解得，x₁ =
5
3 ，x₂ =5．
即当x=
5
3 或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的
1
4 ．