作业帮抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-1,0)B(3,0),交y轴于点C顶点为D以BD为直径的圆M恰好过点C
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 01:50:56
抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-1,0)B(3,0),交y轴于点C顶点为D以BD为直径的圆M恰好过点C
（1）求点C及顶点D的坐标（用字母a的代数式表示）
（2）求抛物线的解析式
（3）抛物线是否存在点P使ΔPBD为直角三角形?若存在,求出点P的坐标；若不存在请说明理由
（1）求点C及顶点D的坐标（用字母a的代数式表示）
（2）求抛物线的解析式
（3）抛物线是否存在点P使ΔPBD为直角三角形?若存在,求出点P的坐标；若不存在请说明理由
点A(-1,0)、B(3,0)的坐标分别代入抛物线方程y=ax²+bx+c,得
0=a-b+c,0=9a+3b+c,联立解得：b=-2a,c=-3a.于是抛物线方程为
y=ax²-2ax-3a,即y=a(x-3)(x+1),亦即y=a[(x-1)²-4],
（1）
令x=0,得y=-3a,所以C(0,-3a),
y=a[(x-1)²-4]当且仅当x=1取得极值,D(1,-4a).
（2）
设Q为BD中点,易得Q(2,-2a),而|QB|²=(3-2)²+(0+2a)²=4a²+1,
所以以Q为圆心,BD为直径的圆的方程为(x-2)²+(y+2a)²=4a²+1,
C(0,-3a)的坐标代入圆的方程,得a=±1,所以抛物线的解析式有两个：
y==±(x-3)(x+1),亦即y=±[(x-1)²-4],
一般式y=x²-2x-3,y=-x²+2x+3.是一对关于x轴对称的抛物线.
（3）
以BD为直径的圆M恰好过点C,ΔP(即C)BD是一以BD为斜边的直角三角形；
有没有以BD为直角边的直角三角形呢?
当a=1时,
直线BD的斜率为(0+4a)/(3-1)=2,垂直于BD的直线的斜率为-1/2,
过B垂直于BD的直线方程为：y-0=-1/2(x-3),即x+2y-3=0
和抛物线方程y=x²-2x-3联立,解得P11(3,0)、P12(-3/2,3/4)
过D垂直于BD的直线方程为：y+4=-1/2(x-1),即x+2y+7=0
和抛物线方程y=x²-2x-3联立,解得P13(1,-4)、P14(1/2,-15/4)
当a=-1时,因为y=x²-2x-3,y=-x²+2x+3是一对关于x轴对称的抛物线,所以
上述各点关于x轴的对称点作为P点,均可使ΔPBD成为直角三角形.
所以可使ΔPBD成为直角三角形的P点有（10-1）个.P10=C(0,-3),P11(3,0)、P12(-3/2,3/4)、P13(1,-4)、P14(1/2,-15/4)；P20=C(0,3),P21(3,0)、P22(-3/2,-3/4)、P23(1,4)、P24(1/2,15/4),其中P11(3,0)、P21(3,0)重合.
0=a-b+c,0=9a+3b+c,联立解得：b=-2a,c=-3a.于是抛物线方程为
y=ax²-2ax-3a,即y=a(x-3)(x+1),亦即y=a[(x-1)²-4],
（1）
令x=0,得y=-3a,所以C(0,-3a),
y=a[(x-1)²-4]当且仅当x=1取得极值,D(1,-4a).
（2）
设Q为BD中点,易得Q(2,-2a),而|QB|²=(3-2)²+(0+2a)²=4a²+1,
所以以Q为圆心,BD为直径的圆的方程为(x-2)²+(y+2a)²=4a²+1,
C(0,-3a)的坐标代入圆的方程,得a=±1,所以抛物线的解析式有两个：
y==±(x-3)(x+1),亦即y=±[(x-1)²-4],
一般式y=x²-2x-3,y=-x²+2x+3.是一对关于x轴对称的抛物线.
（3）
以BD为直径的圆M恰好过点C,ΔP(即C)BD是一以BD为斜边的直角三角形；
有没有以BD为直角边的直角三角形呢?
当a=1时,
直线BD的斜率为(0+4a)/(3-1)=2,垂直于BD的直线的斜率为-1/2,
过B垂直于BD的直线方程为：y-0=-1/2(x-3),即x+2y-3=0
和抛物线方程y=x²-2x-3联立,解得P11(3,0)、P12(-3/2,3/4)
过D垂直于BD的直线方程为：y+4=-1/2(x-1),即x+2y+7=0
和抛物线方程y=x²-2x-3联立,解得P13(1,-4)、P14(1/2,-15/4)
当a=-1时,因为y=x²-2x-3,y=-x²+2x+3是一对关于x轴对称的抛物线,所以
上述各点关于x轴的对称点作为P点,均可使ΔPBD成为直角三角形.
所以可使ΔPBD成为直角三角形的P点有（10-1）个.P10=C(0,-3),P11(3,0)、P12(-3/2,3/4)、P13(1,-4)、P14(1/2,-15/4)；P20=C(0,3),P21(3,0)、P22(-3/2,-3/4)、P23(1,4)、P24(1/2,15/4),其中P11(3,0)、P21(3,0)重合.
抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-1,0)B(3,0),交y轴于点C顶点为D以BD为直径的圆M恰好过点C
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,D两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点B在第一象限,若点A的坐标为（1,0）
抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P,对称轴直线x=1于x轴交于点D,抛物线与x轴交于点D抛物线交于A.B两点A（-1,
如图1,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1,4）,交x轴于A,B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标3.0
如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（-3，2），与x轴相交于点C（-2，0），过点C画CB⊥AC交y轴于点B，连
已知:抛物线y=-x平方+bx+c过点A（-1,0）、B（-2,-5）.与y轴交于点C,顶点为D
已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D.
（2014•沧州二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．
如图1 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1,4)交x轴于AB两点 交y轴于点D 其中B点的坐标为(3,0） 1.求抛
设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-
如图,抛物线y=ax的平方+bx+c的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.(1)求a,b,c的值.
如图,顶点坐标为（2,-1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0,3）,与x轴交于A、B两点．