一道解析几何题已知圆C=x^2+y^2-2x+4y-4=0,若斜率为1的直线l被C截得的弦为AB,以AB为直径的圆恰好过

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 11:44:39

一道解析几何题
已知圆C=x^2+y^2-2x+4y-4=0,若斜率为1的直线l被C截得的弦为AB,以AB为直径的圆恰好过原点,
1.求l直线方程
2.求以AB为直径的圆的方程

很简单,只需注意到以AB为直径的圆恰好过原点这个条件
（1）已知与曲线x^2+y^2-2x+4y-4=0相交的直线斜率为1,则设此直线为y=x+b代入曲线方程得到2x平方+2（b+1）x+b平方+4b-4=0 （a）
再设A(x1,y1) B(x2,y2),又以AB为直径的圆恰好过原点,则直线OA的斜率K1和直线OB的斜率K2互相垂直.即K1*K2=-1,从而有x1*x2+y1*y2=0
代入直线方程整理后有2x1*x2+b(x1+x2)+b平方=0 (b) 根据（a）式得到根与系数的关系 x1+x2=-(b+1) x1*x2=(b平方+4b-4)/2 代入(b)式整理得到 b=-4或1
所以所求直线为 y=x-4或y=x+1
（2）由(1)b=-4时,代入上面(a)得到（x1-x2）的绝对值为根号2,x1+x2=3
则AB的长度为根号2*根号下（1+1）=2 从而得到以AB为直径的圆的半径为1
AB中点坐标（3/2,-5/2）则圆的方程为（x-3/2）平方+（y-5/2）平方=1
当b=1时,同理可得圆的方程为（x-1）平方+(y-2)平方=1