bn=(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)/(1+2+3+4+……+n)证明an是等差数列是bn是等差数列的充

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 01:51:44

bn=(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)/(1+2+3+4+……+n)证明an是等差数列是bn是等差数列的充要条件

证明：先证若an是等差数列,则bn是等差数列.（充分性）
令Sn=a1+2a2+3a3+4a4+……+nan
=(a1+a2+...+an)+(a2+a3+...+an)+...+(a(n-1)+an)+an
=n个an的前n项和的一半+1个an的前n项和的一半
=n(n+1)(a1+an)/2
则bn=a1+an=2a1+(n-1)d
显然bn也为等差数列
再证若bn是等差数列,则an也是等差数列(必要性)
n(n+1)bn=2(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)
而(n+1)(n+2)b(n+1)=2[a1+2a2+3a3+4a4+……+nan+(n+1)a(n+1)]
两式相减,得：
(n+2)b(n+1)-nbn=a(n+1)
由bn是等差数列,得
a(n+1)=n[b(n+1)-bn]+2b(n+1)=nd'+2b(n+1)=2a1+nd'+nd'=2a1+2nd'
即an=2a1+2(n-1)d'=2a1-2d'+2nd'
易判断an为等差数列
其中,d和d‘分别是{an}{bn}的公差
再问：令Sn=a1+2a2+3a3+4a4+……+nan =(a1+a2+...+an)+(a2+a3+...+an)+...+(a(n-1)+an)+an =n个an的前n项和的一半+1个an的前n项和的一半不懂，如何知道这个，帮帮忙
再答：我是通过观察法得来的第1个括号内 a1+a2+a3+...+an 第二个括号内 a2+a3+...+an …… 最后一项是 an 一共有n项这n排求和构成了一个等腰直角三角形，如果把它每一行缺的项补齐，它就成了一个“正方形” “正方形”的和就是n个{an}的前n项和。它的和就是“正方形”的一半，还要加上“对角线”上的一半。我想得复杂，应该还有其他方法吧。

bn=(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)/(1+2+3+4+……+n)证明an是等差数列是bn是等差数列的充已知:bn=(a1+2a2+...+nan)/(1+2+...+n),数列an成等差数列的充要条件是bn也是等差数列. bn}是首项为1,公差4/3的等差数列,且bn=（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）, 1.求证{an} 设an是等差数列,求证以bn=(a1+a2+a3+…+an)/n,n属于N+为通项公式的数列bn是等差数列等差数列的题已知数列bn=（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）,数列bn是等差数列,求证数列an是等差数已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12 令bn=an*3^n,求{bn}的前n项和已知数列{an}和{bn}满足关系:bn=(a1+a2+a3+…+an)/n,(n∈N*).若{bn}是等差数列,求证{ 1.已知数列{an}是等差数列,a1=2,a1+a2+a3=12,令bn=3^an,求数列{bn}的前n项和Sn. 设an,bn都是等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差数列,liman/bn=1/2,求lim（1/a 设数列an,bn满足:bn=(a1+a2+a3+a4+...+an)/n,若bn是等差数列,求证an也是等差数列已知a1 a2 a3……an构成等差数列 Sn=n^2 设bn=an/3^n 记{bn}的前n项和为Tn . 证明Tn 有两个等差数列{an],{bn]满足（a1+a2+a3+…an）/（b1+b2+b3+…bn）=（7n+2）/（n+3）