(2012•惠州模拟)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/01 13:22:10
(2012•惠州模拟)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2,设l1与轨迹C交于A、B两点,l2与轨迹C交于D、E两点,求|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2,设l1与轨迹C交于A、B两点,l2与轨迹C交于D、E两点,求|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值.
(1)∵平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1
∴当x≥0时,点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离,
∴动点P的轨迹为抛物线,方程为y2=4x(x≥0)
当x<0时,y=0
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0)
(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1)
与抛物线方程联立,消元可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,所以x1+x2=2+
4
k2,x1x2=1
∵l1⊥l2,∴l2的斜率为-
1
k
设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1
∴|FA||FB|+|FD||FE|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=8+4(k2+
1
k2)≥16(当且仅当k=±1时取等号)
∴|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值为16.
∴当x≥0时,点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离,
∴动点P的轨迹为抛物线,方程为y2=4x(x≥0)
当x<0时,y=0
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0)
(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1)
与抛物线方程联立,消元可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,所以x1+x2=2+
4
k2,x1x2=1
∵l1⊥l2,∴l2的斜率为-
1
k
设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1
∴|FA||FB|+|FD||FE|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=8+4(k2+
1
k2)≥16(当且仅当k=±1时取等号)
∴|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值为16.
(2012•惠州模拟)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (Ⅰ)求动点P的轨迹C的方
已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (Ⅰ)求P的轨迹方程
已知平面内一动点P到点F(1.0)的距离与点P到Y轴的距离的差等于1
已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1 (1)求P的轨迹方程 (2)过点F作两条斜率
已知平面内一动点p到点F(0,1)的距离与点P到x轴的距离的差等于1 (Ⅰ)求P的轨迹方程 (
已知平面内一动点P到F(1,0)的距离与P点到y轴的距离的差等于1,求动点P的轨迹方程
已知平面内一动点p到点F(1,0)的距离与点p到y轴的距离的等于1 1、求p轨迹c的方程 2问见补充
已知平面内一动点p到点F(0,1)的距离与点P到x轴的距离的
在直角坐标平面内y轴右侧的一动点P到点(1/2,0)的距离比它到y轴的距离大1/2
在直角坐标平面内y轴右侧的一动点P到点(1/2,0)的距离比它到y轴的距离大1/2.
1.点P到直线y+5=0的距离与到点(0,4)的距离之差等于1,求P的 轨迹方程