如图,已知AB是圆O的直径,BC是圆O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/09 08:41:28
如图,已知AB是圆O的直径,BC是圆O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P. (1)求证:PC=PG; (2)点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若点G是BC的中点,试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系,并写出证明过程; (3)在满足(2)的条件下,已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为 时,求弦ED的长. |
(1)证明:如图,连接OC,
∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC。∴∠OCG+∠PCG=90°。
∵ED⊥AB,∴∠B+∠BGF=90°。
∵OB=OC,∴∠B=∠OCG。∴∠PCG=∠BGF。
又∵∠BGF=∠PGC,∴∠PGC=∠PCG。
∴PC=PG。
(2)CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG 2 =BO?BF。理由如下:
如图,连接OG,
∵点G是BC的中点,∴OG⊥BC,BG=CG。∴∠OGB=90°。
∵∠OBG=∠GBF,∴Rt△BOG∽Rt△BGF。∴BG:BF=BO:BG。
∴BG 2 =BO?BF。∴CG 2 =BO?BF。
(3)如图,连接OE,
由(2)得BG⊥BC,∴OG= 。
在Rt△OBG中,OB=5,∴ 。
由(2)得BG 2 =BO?BF,∴ 。∴OF=1。
在Rt△OEF中, 。
∵AB⊥ED,∴EF=DF。
∴DE=2EF= 。
试题分析:(1)连接OC,根据切线的性质得OC⊥PC,则∠OCG+∠PCG=90°,由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°,而∠B=∠OCG,所以∠PCG=∠BGF,根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC,于是∠PGC=∠PCG,所以PC=PG。
(2)连接OG,由点G是BC的中点,根据垂径定理的推论得OG⊥BC,BG=CG,易证得Rt△BOG∽Rt△BGF,则BG:BF=BO:BG,即BG2=BO?BF,把BG用CG代换得到CG 2 =BO?BF。
(3)连接OE,OG=OG= ,在Rt△OBG中,利用勾股定理计算出BG=2 ,再利用BG2=BO?BF可计算出BF,从而得到OF=1,在Rt△OEF中,根据勾股定理计算出EF=2 ,由于AB⊥ED,根据垂径定理可得EF=DF,于是有DE=2EF=4 。
∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC。∴∠OCG+∠PCG=90°。
∵ED⊥AB,∴∠B+∠BGF=90°。
∵OB=OC,∴∠B=∠OCG。∴∠PCG=∠BGF。
又∵∠BGF=∠PGC,∴∠PGC=∠PCG。
∴PC=PG。
(2)CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG 2 =BO?BF。理由如下:
如图,连接OG,
∵点G是BC的中点,∴OG⊥BC,BG=CG。∴∠OGB=90°。
∵∠OBG=∠GBF,∴Rt△BOG∽Rt△BGF。∴BG:BF=BO:BG。
∴BG 2 =BO?BF。∴CG 2 =BO?BF。
(3)如图,连接OE,
由(2)得BG⊥BC,∴OG= 。
在Rt△OBG中,OB=5,∴ 。
由(2)得BG 2 =BO?BF,∴ 。∴OF=1。
在Rt△OEF中, 。
∵AB⊥ED,∴EF=DF。
∴DE=2EF= 。
试题分析:(1)连接OC,根据切线的性质得OC⊥PC,则∠OCG+∠PCG=90°,由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°,而∠B=∠OCG,所以∠PCG=∠BGF,根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC,于是∠PGC=∠PCG,所以PC=PG。
(2)连接OG,由点G是BC的中点,根据垂径定理的推论得OG⊥BC,BG=CG,易证得Rt△BOG∽Rt△BGF,则BG:BF=BO:BG,即BG2=BO?BF,把BG用CG代换得到CG 2 =BO?BF。
(3)连接OE,OG=OG= ,在Rt△OBG中,利用勾股定理计算出BG=2 ,再利用BG2=BO?BF可计算出BF,从而得到OF=1,在Rt△OEF中,根据勾股定理计算出EF=2 ,由于AB⊥ED,根据垂径定理可得EF=DF,于是有DE=2EF=4 。
如图,已知AB是圆O的直径,BC是圆O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P.
已知:如图,AB,AC分别是圆O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,弦DE交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延
已知,如图,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,OD垂直BC于点D,过点C作圆O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC、BC.
如图,AB是圆O的直径,CB是圆O的弦,D是弧AC的中点,过D点作直线与BC垂直,交BC延长线于E点,且BA交延长线于F
已知:如图,AB为圆O的直径,AB⊥AC,BC交圆O于D,E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F.
如图,已知,AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,OC平行AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P
如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P,
如图,已知AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于E,AD⊥EC于D且交⊙O于F.连接BC,CF,AC.
已知圆O的直径AB与弦CD相交于点E,CE=ED切线BF与弦AD的延长线交于点F,
1.如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,过点C作CG平行于AD交AB的延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F,
如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E点,过C点作CG‖AD,交AB的延长线与点G,连CO并延长交AD于点F,