在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=3,cos[(A+C)/2]=√3/3 (1)求cosB的
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 19:47:26
在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=3,cos[(A+C)/2]=√3/3 (1)求cosB的值
(2)分别求b的取值范围及向量AB·向量AC的取值范围
(2)分别求b的取值范围及向量AB·向量AC的取值范围
1 cos((A+C)/2)=cos((Pi-B)/2)=cos(Pi/2-B/2)=sinB/2=√3/3
So cosB=1-2sin^2 (B/2)=1-2(√3/3)^2=1/3
2 sinB=2√2/3,sinA/a=sinB/b,b=asinB/sinA=2√2/sinA>=2√2,等号当直角三角形时取得.
AB·AC=bc*cosA.设C到AB垂足为D,固定a,B,则BA方向已定.当A从B开始向D移动,并经过D继续移动的过程中,cosA从-cosB=-1/3增长到0,再继续增长,趋向于1;而c从0开始一直在增加;b先由a=3减小到垂直时的2√2,再一直增加.故AB·AC先从0开始减小到某个负数,然后再增加到0,最终趋向于无穷.
为计算该负数,由余弦定理得,AB·AC=bc*cosA=(b^2+c^2-9)/2,
而由正弦定理得b=2√2/sinA,
c=3sinC/sinA=3sin(A+B)/sinA=3(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=1+2√2cosA/sinA.
设cosA=x,则sinA=√(1-x^2),b^2+c^2=f(x)=-7+16/(1-x^2)+4√2x/√(1-x^2),求出f'(x).
令f'(x)=0,化简得8x/√(1-x^2)+√2=0,x=-1/√33,易得该点是f(x)的最小值点.f(-1/√33)=17/2,因此AB·AC=(b^2+c^2-9)/2的最小值为-1/4.故AB·AC的范围为大于或等于-1/4.
So cosB=1-2sin^2 (B/2)=1-2(√3/3)^2=1/3
2 sinB=2√2/3,sinA/a=sinB/b,b=asinB/sinA=2√2/sinA>=2√2,等号当直角三角形时取得.
AB·AC=bc*cosA.设C到AB垂足为D,固定a,B,则BA方向已定.当A从B开始向D移动,并经过D继续移动的过程中,cosA从-cosB=-1/3增长到0,再继续增长,趋向于1;而c从0开始一直在增加;b先由a=3减小到垂直时的2√2,再一直增加.故AB·AC先从0开始减小到某个负数,然后再增加到0,最终趋向于无穷.
为计算该负数,由余弦定理得,AB·AC=bc*cosA=(b^2+c^2-9)/2,
而由正弦定理得b=2√2/sinA,
c=3sinC/sinA=3sin(A+B)/sinA=3(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=1+2√2cosA/sinA.
设cosA=x,则sinA=√(1-x^2),b^2+c^2=f(x)=-7+16/(1-x^2)+4√2x/√(1-x^2),求出f'(x).
令f'(x)=0,化简得8x/√(1-x^2)+√2=0,x=-1/√33,易得该点是f(x)的最小值点.f(-1/√33)=17/2,因此AB·AC=(b^2+c^2-9)/2的最小值为-1/4.故AB·AC的范围为大于或等于-1/4.
在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=3,cos[(A+C)/2]=√3/3 (1)求cosB的
在三角形ABC中 a、b、c分别是ABC的对边 b平方=ac cos(A-C)cosB=2/3 求B
在三角形ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且cosB/cos=-(b/2a+c) 求角B
在三角形ABC中,A,B,C,的对边分别是a,b,c,已知3a(cosA)=c(cosB)+b(cosC) a=1,co
在三角形abc中,角A.B.C所对的边分别为a.b.c,已知a=2,c=3,cosB是方程
三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c 求 c
在三角形abc中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,cosA+C\2=根号下3\3,求cosB的值
三角形ABC中,角A、B、C对边分别是a、b、c,已知a=3,c=2,cosB=1/4求:sinA;
在三角形ABC中,角A B C的对边分别是a b c,已知3acosA=ccosB+bcosC,若a=1,cosB+co
在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-3
在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=3/4.
在三角形ABC中 a b c 分别是A B C的对边 cosC/cosB=3a-c/b 求sinB