（2013•重庆模拟）如图，在三棱柱ABC=A1B1C1中，AC=3，CC1⊥平面ABC，BC=4，AB=5，AA1=4

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/17 22:07:57

（2013•重庆模拟）如图，在三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AC=3，CC₁⊥平面ABC，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥C₁-CDB₁的体积．

（1）证明：∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5．

∴AB²=AC²+BC²，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
∵CC₁⊥平面ABC，AC⊂平面ABC．
∴AC⊥CC₁．
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
BC₁⊂平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．
（2）证明：设CB₁∩BC₁=E，连接ED．
由正方形BCC₁B₁可得E为BC₁的中点，又D为AB的中点，∴AC₁∥ED．
∵ED⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）取BC的中点M，连接DM，则DM
∥
.
1
2AC，
∵AC⊥平面BCC₁B₁，∴DM⊥平面BCC₁B₁．
∴VC1−CDB1＝VD−CB1C1=
1
3S△CB1C1×DM=
1
3×
1
2×4×4×
3
2=4．

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