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已知函数f(x)=ax^3-3/2*x^2+1(x属于R)其中a大于0,若在区间{-1/2,1/2}上,f(x)>0恒成

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/07 22:37:39
已知函数f(x)=ax^3-3/2*x^2+1(x属于R)其中a大于0,若在区间{-1/2,1/2}上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围
f′(x)=3ax²-3x=3x(ax-1).令f′(x)=0,解得x=0或x=1/a.以下分两种情况讨论:①若0<a≤2则1/a≥½当x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:(图1)当x∈[﹣½,½]时f(x)>0等价于f(-½)>0f(½)>0即(5-a)/8>0     (5+a)/8>0解得:-5<a<5∴0<a≤2②若a>2则0<1/a<½当x变化时f’(x),f(x)的变化如下表:(图2)当x∈[-½,½]时f(x)>0等价于f(-½)>0f(1/a)>0即(5-a)/8>0   1-(1/2a²)>0解得:√2/2<a<5  或者  a<-√2/2综合①、②所述:0<a<5