求解一道高考数学选择题: 高为√2/4的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为1的同

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/09 04:47:53

求解一道高考数学选择题: 高为√2/4的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为1的同一
球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
A√2/4 B √2/2 C 1 D √2
麻烦写出详细过程,谢谢

令AC与BD的交点为E,过S作平面K∥面ABCD,再过E作EF⊥平面K交平面K于F.
由平行平面间处处等距离,可知：EF＝S到面ABCD的距离＝√2/4.
令S－ABCD的外接球球心为O.
一、证明：点O在EF的延长线上.
1、点O显然不与F重合.
　　若重合,则由勾股定理,有：FA^2＝EF^2＋EA^2.
　　而FA＝1,容易算出：EA＝AC/2＝√2AB/2＝√2/2,得：EF＝√［1－（√2/2）^2］＝√2/2.
　　这与EF＝√2/4矛盾.
2、点O若在FE的延长线上,则由勾股定理,有：OA^2＝OE^2＋EA^2.
　　而OA＝1,EA＝√2/2,∴OE＝√［1－（√2/2）^2］＝√2/2.
　　∴OE＋EF＝√2/2＋√2/4＝3√2/4＞1,即OF＞1,这说明点F在球O外面,自然是不合理的.
由上述的1、2,得：点O在EF的延长线上.
二、证明：F是OE的中点.
由勾股定理,有：OA^2＝OE^2＋EA^2.
而OA＝1,EA＝√2/2,∴OE＝√［1－（√2/2）^2］＝√2/2,又EF＝√2/4.
∴点F是OE的中点.
三、计算S到ABCD中心的距离.
连结SF.
∵EF⊥平面K,∴SF⊥EF,又OF＝EF,∴S在OE的垂直平分线上,∴SE＝SO＝1.
∵ABCD是正方形,且E是AC与BD的交点,∴E是ABCD的中心,
∴S到ABCD中心的距离为1.