作业帮非欧几何的产生与发展的数学历史
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/10/04 03:05:53
非欧几何的产生与发展的数学历史
能否稍加概括，最好谈点启示。要简洁一点
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楼主给分呀!
1..非欧几何的发展史
1、1问题的提出
非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的,它的内容是“若一条直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”、这一公设引起了广泛的讨论,因为它不如其他公理、公设那样简明,欧几里得本人也不满意这条公设,他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它,怀疑它可能不是一个独立的公设,或许能用其它公设或公理代替,从古希腊时代开始到19世纪的2000多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀,孜孜不倦的试图解决这个问题,数学家们主要沿2条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9条公理、公设推导出平行公设来,沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795年苏格兰数学家普雷菲尔(J,Playfair1748—1819)给出的：“过直线外一点,有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理,但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就陈述过它．然而问题是,所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受,更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫(Ptolemy,约公元150年)做出的,后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行,这就是上面提到的普雷菲尔公设
1．2问题的解决
1．2．1非欧几何的萌芽
沿第二条途径论证第五公设的工作在18世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里(Sacchairn1667—1733)提出用归谬法证明第五公设,萨凯里从四边形ABCD开始,如果角A和角是直角,且AC=BD,容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断．萨凯里提出另2个假设：(1)钝角假设：角C和角D都是钝角；(2)锐角假设：角C和角D都是锐角．最后在锐角假设下,萨凯里导出了一系列结果,因为与经验认识违背,使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法,开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特(Lambetr1728—1777)所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形,其中3个角为直角,而第5个角有3种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾,就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德(A．M、Legendar1752—1833)对平行公设问题也十分关注,他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”,这预示着可能存在着一种新几何,19世纪初,德国人萨外卡特(schweikart1780—1859)使这种思想更加明朗化,他通过对“星形几何”的研究,指出：“存在两类几何：狭义的几何(欧氏几何)星形几何,在后一个里面,三角形有一个特点,就是三角形内角之和不等于两直角”,
1．2,2非欧几何的诞生
前面提到的一些数学家尤其是兰伯特,都是非欧几何的先驱,但是他们都没有正式提一种新几何并建立其系统的理论,而著名的数学家高斯(Gauss1777—1855)、波约(Bolyai1802—1860)、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky1793—1856)就这样做了,成为非欧几何的创始人,高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人,早在1792年他就已经有一种思想,去建立一种逻辑几何学,其中欧几里得第五公设不成立．1794年高斯发现在他的这种几何中,四边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的差,并由此导出三角形的面积不超过一个常数,无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何,称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的,并且是真实的,能够应用的,为此他还测量了3
个山峰构成的三角形内角,他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后,从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．
2..非欧几何发展史的启示
非欧几何的诞生,是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵(M．Klein)在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理,并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后,高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．
2．1对数学学科本身
2．1．1数学发展的相对独立性
通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式,使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在,从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性,它可以独立于物理世界而进行,可以超前于社会实践,并反作用于社会实践,推动数学乃至于整个科学向前发展．19世纪前,数学始终与应用数学紧密结合在一起,即数学不能离开实用学科而独立发展,研究数学的最终目的是为了解决实际问题,但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学,超越人们的经验,非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维,按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解,于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂LlJ．
2．1．2数学的本质在于它的充分自由
非欧几何的创立,使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造m几何理论,然后由此决定他们的空间观,这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观,一般并不能否定客观世界的存在等内容,它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论,永远是两回事．正因为如此,人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物,而不是对客观现实的直接临摹,这样就使数学获得了极大的白南,同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来,继续着它自己的行程．对此,M．克莱茵说：“数学史的这一阶段,使数学摆脱了与现实的紧密联系,并使数学本身从科学中分离出来了,就如同科学从哲学中分离出来,哲学从宗教中分离出来,宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治．康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由”’．
2．1．3几何观念的更新
非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面,使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的,而非欧几何的出现打破了这种观念,促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深人探讨．
2．2文化教育方面
2．2．1非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何,但3人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在,但他没有向世人公布他的新思想,他受康特(Kant)唯心思想的影响,不敢向传统几何学界达2000a之久的欧氏几何挑战,以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究,终于发现了新几何．这其中还有一个故事,当高斯决定将自己的发现秘而不宣时,波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世,然而高斯回信给他的父亲F波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容,你儿子采取的思路和获得的结果,与我在30至35年前的思考不谋而合”],波约对高斯的回答深感失望.认为高斯想剽窃自己的成果,
1..非欧几何的发展史
1、1问题的提出
非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的,它的内容是“若一条直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”、这一公设引起了广泛的讨论,因为它不如其他公理、公设那样简明,欧几里得本人也不满意这条公设,他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它,怀疑它可能不是一个独立的公设,或许能用其它公设或公理代替,从古希腊时代开始到19世纪的2000多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀,孜孜不倦的试图解决这个问题,数学家们主要沿2条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9条公理、公设推导出平行公设来,沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795年苏格兰数学家普雷菲尔(J,Playfair1748—1819)给出的：“过直线外一点,有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理,但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就陈述过它．然而问题是,所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受,更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫(Ptolemy,约公元150年)做出的,后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行,这就是上面提到的普雷菲尔公设
1．2问题的解决
1．2．1非欧几何的萌芽
沿第二条途径论证第五公设的工作在18世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里(Sacchairn1667—1733)提出用归谬法证明第五公设,萨凯里从四边形ABCD开始,如果角A和角是直角,且AC=BD,容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断．萨凯里提出另2个假设：(1)钝角假设：角C和角D都是钝角；(2)锐角假设：角C和角D都是锐角．最后在锐角假设下,萨凯里导出了一系列结果,因为与经验认识违背,使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法,开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特(Lambetr1728—1777)所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形,其中3个角为直角,而第5个角有3种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾,就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德(A．M、Legendar1752—1833)对平行公设问题也十分关注,他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”,这预示着可能存在着一种新几何,19世纪初,德国人萨外卡特(schweikart1780—1859)使这种思想更加明朗化,他通过对“星形几何”的研究,指出：“存在两类几何：狭义的几何(欧氏几何)星形几何,在后一个里面,三角形有一个特点,就是三角形内角之和不等于两直角”,
1．2,2非欧几何的诞生
前面提到的一些数学家尤其是兰伯特,都是非欧几何的先驱,但是他们都没有正式提一种新几何并建立其系统的理论,而著名的数学家高斯(Gauss1777—1855)、波约(Bolyai1802—1860)、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky1793—1856)就这样做了,成为非欧几何的创始人,高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人,早在1792年他就已经有一种思想,去建立一种逻辑几何学,其中欧几里得第五公设不成立．1794年高斯发现在他的这种几何中,四边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的差,并由此导出三角形的面积不超过一个常数,无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何,称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的,并且是真实的,能够应用的,为此他还测量了3
个山峰构成的三角形内角,他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后,从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．
2..非欧几何发展史的启示
非欧几何的诞生,是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵(M．Klein)在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理,并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后,高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．
2．1对数学学科本身
2．1．1数学发展的相对独立性
通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式,使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在,从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性,它可以独立于物理世界而进行,可以超前于社会实践,并反作用于社会实践,推动数学乃至于整个科学向前发展．19世纪前,数学始终与应用数学紧密结合在一起,即数学不能离开实用学科而独立发展,研究数学的最终目的是为了解决实际问题,但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学,超越人们的经验,非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维,按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解,于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂LlJ．
2．1．2数学的本质在于它的充分自由
非欧几何的创立,使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造m几何理论,然后由此决定他们的空间观,这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观,一般并不能否定客观世界的存在等内容,它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论,永远是两回事．正因为如此,人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物,而不是对客观现实的直接临摹,这样就使数学获得了极大的白南,同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来,继续着它自己的行程．对此,M．克莱茵说：“数学史的这一阶段,使数学摆脱了与现实的紧密联系,并使数学本身从科学中分离出来了,就如同科学从哲学中分离出来,哲学从宗教中分离出来,宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治．康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由”’．
2．1．3几何观念的更新
非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面,使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的,而非欧几何的出现打破了这种观念,促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深人探讨．
2．2文化教育方面
2．2．1非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何,但3人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在,但他没有向世人公布他的新思想,他受康特(Kant)唯心思想的影响,不敢向传统几何学界达2000a之久的欧氏几何挑战,以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究,终于发现了新几何．这其中还有一个故事,当高斯决定将自己的发现秘而不宣时,波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世,然而高斯回信给他的父亲F波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容,你儿子采取的思路和获得的结果,与我在30至35年前的思考不谋而合”],波约对高斯的回答深感失望.认为高斯想剽窃自己的成果,