作业帮证明:当n>1时,不存在奇素数p和正整数m使p^n+1=2^m;当n>2时,不存在奇素数p和正整数
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/03 04:46:30
证明:当n>1时,不存在奇素数p和正整数m使p^n+1=2^m;当n>2时,不存在奇素数p和正整数
若n为偶数,令t=p^(n/2),则t^2+1=2^m.
因为n>2,p>=3,所以m>3.
t^2+1=2^m,mod4得：t^2=3(mod4) 矛盾.
若n为奇数,则2^m=p^n+1=(p+1)(p^(n-1)-.+1).
所以存在k>=2,使得p=2^k-1.
所以2^m-1=(2^k-1)^n (显然m>k)
=2^kn-.+n*(2^k)-1.
两边mod(2^k).
则2^(m-k)=2^(kn-k)-.+n(mod2^k).
所以2|n,矛盾.
因为n>2,p>=3,所以m>3.
t^2+1=2^m,mod4得：t^2=3(mod4) 矛盾.
若n为奇数,则2^m=p^n+1=(p+1)(p^(n-1)-.+1).
所以存在k>=2,使得p=2^k-1.
所以2^m-1=(2^k-1)^n (显然m>k)
=2^kn-.+n*(2^k)-1.
两边mod(2^k).
则2^(m-k)=2^(kn-k)-.+n(mod2^k).
所以2|n,矛盾.
证明:当n>1时,不存在奇素数p和正整数m使p^n+1=2^m;当n>2时,不存在奇素数p和正整数
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