怎么证(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 16:52:31
怎么证(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4?
错解:正解:
(a-1)² ≧ 0 欲证原式成立,即证4(ab)²+(a²+b² )-25ab+4≧0
a² -2a + 1 ≧ 0 即1/4≧ ab或ab≧ 8
a² + 1 ≧ 2a 即证4(ab)²-33ab+8≧0
a + 1/a ≧ 2 因为a>0 b>0,a+b=1
同理:b + 1/b ≧ 2 所以ab≧8不可能成立
(a+1/a)(b+1/b) ≧ 2*2 因为1=a+b≥2(ab)^1/2
(a+1/a)(b+1/b) ≧ 4 所以ab≤1/4,从而求证.
这道题我在网上查了查,发现大部分都是错解那样形式的,鄙人无能只能想到上面的这一种愚钝的方法,有没有那位高手能用比较巧妙的方法,
a,b属于正整数,且a+b=1是前提条件.
错解:正解:
(a-1)² ≧ 0 欲证原式成立,即证4(ab)²+(a²+b² )-25ab+4≧0
a² -2a + 1 ≧ 0 即1/4≧ ab或ab≧ 8
a² + 1 ≧ 2a 即证4(ab)²-33ab+8≧0
a + 1/a ≧ 2 因为a>0 b>0,a+b=1
同理:b + 1/b ≧ 2 所以ab≧8不可能成立
(a+1/a)(b+1/b) ≧ 2*2 因为1=a+b≥2(ab)^1/2
(a+1/a)(b+1/b) ≧ 4 所以ab≤1/4,从而求证.
这道题我在网上查了查,发现大部分都是错解那样形式的,鄙人无能只能想到上面的这一种愚钝的方法,有没有那位高手能用比较巧妙的方法,
a,b属于正整数,且a+b=1是前提条件.
这样来算:
由于a+b=1所以把a=b-1带入式子化简一下,得到:
原式=[ (1-b)+1/(1-b) ] * (b+1/b)
= -b²+b-2+2/ [b*(1-b)]
分开设:y1= -b²+b-2
y2=2/ [b*(1-b)]
y1的最小值用抛物线的算法来算,在-1/2时候取到,是-4/7;
y2的最小值用不等式的算法来算,由于b*(b-1)≤(b+1-b)²/4=1/4(当且仅当在b=1/2时候取到)
所以 y2=2/ [b*(1-b)] ≥8
两个式子一综合,最大值都是在b=1/2时候取到,所以 :原式≥-4/7+8=4/25 得证.
由于a+b=1所以把a=b-1带入式子化简一下,得到:
原式=[ (1-b)+1/(1-b) ] * (b+1/b)
= -b²+b-2+2/ [b*(1-b)]
分开设:y1= -b²+b-2
y2=2/ [b*(1-b)]
y1的最小值用抛物线的算法来算,在-1/2时候取到,是-4/7;
y2的最小值用不等式的算法来算,由于b*(b-1)≤(b+1-b)²/4=1/4(当且仅当在b=1/2时候取到)
所以 y2=2/ [b*(1-b)] ≥8
两个式子一综合,最大值都是在b=1/2时候取到,所以 :原式≥-4/7+8=4/25 得证.
怎么证(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4?
(a+b)/2大于等于2/(1/a+1/b)怎么证?
a大于0,b大于0,ab大于等于a+b+1,求a+b最小值
如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?
a大于0,b大于0证明 1.a+1/a大于等于2 2.(a+b)*(1/a+1/b)大于等于4
已知a,b均大于0,且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4
均值不等式,证明题a+b=1求证:(a+1/a)*(b+1/b)大于等于25/4
已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4.解法里面有一步不懂.
设a大于零b大于零则以下不等式中不恒成立的是 (a+b)(1/a+ 1/b)大于等于4 a*3+b
证明a+b+1/ab大于等于3 前提:A大于0,B大于0
已知正数a b满足ab=1,证明a^3+b^3+b/a+a/b大于等于4
已知a>0.b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4