已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点 1.求证:a^2·m

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/05 18:39:50

已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点 1.求证:a^2·m^2+b^2·n^2＞1 2.若O为
已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点
1.求证:a^2·m^2+b^2·n^2＞1
2.若O为坐标原点，OP垂直OR，求证（a方+b方）/（a方b方）=m方+n方

1. 证明：∵直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交于不同两点
联立方程得：mx+ny=1 ①
:x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
化简整理得：（b^2+a^2m^2/n^2）x^2-2a^2m/n^2x+a^2/n^2-a^2b^2=0
由根的判别式△>0得4a^4m^2/n^2-4(b^2+a^2m^2/n^2)(a^2/n^2-a^2b^2)>0
化简得(a^2b^4n^2-a^2b^2+a^4b^2m^2)/n^2>0
因为n^2>0
所以a^2b^4n^2-a^2b^2+a^4b^2m^2>0
即a^2b^4n^2+a^4b^2n^2>a^2b^2
也即a^2m^2+b^2n^2>1
2. 证明：设P(x1,y1),R(x2,y2)
因为OP⊥OR
所以向量OP.向量OR=0
即x1x2+y1y2=0
由韦达定理得 x1+x2=2a^2m/(b^2n^2+a^2m^2)
X1.x2=(a^2-a^2b^2n^2)/(b^2n^2+a^2m^2)
带入mx+ny=1得 y1.y2=(b^2n^2-a^2b^2n^2m^2)/(b^2n^4+a^2m^2n^2)
∴(a^2-a^2b^2n^2)/(b^2n^2+a^2m^2)+ (b^2n^2-a^2b^2n^2m^2)/(b^2n^4+a^2m^2n^2)=0
即(a^2+b^2-a^2b^2n^2-a^2b^2m^2)/(b^2n^2+a^2m^2)=0
也即a^2+b^2=a^2b^2(m^2+n^2)

已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点 1.求证:a^2·m 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左顶点是A,且直线L交椭圆C与M、N的两点,且AM⊥AN 已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0,且直线l与圆C交于A,B两点若椭圆mx^2+ny^2=1与直线x+y-1=0交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为√2/2,求n/m的值已知圆C：X^2+(y-1)^2=5,直线l:mx-y+1-m=0,设l与圆c交于A,B两点,若定点p(1,1)分弦AB 已知椭圆C的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）,设斜率为k的直线l,交椭圆C与A,B两点,AB的中点已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,设直线l:y=x/2+m与椭圆交于A B两点,线段AB的垂直平分线交X轴与点T,当m 已知椭圆C:x^2+y^2/m=1的焦点在y轴上,且离心率为根号3/2,过点(0,3)的直线l与椭圆C交与两点A,B. 已知倾斜角为钝角的直线mx+ny=6与曲线x^2+y^2-8x-4y+11=0交于A、B两点,当AB=6时,2/m+1/ 已知圆C:x²+y²-2y-4=0,直线l:mx-y+1-m=0且直线l与圆交于A,B两点求弦AB 已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线过点P(0,2)与椭圆交于A,B两点,且OA*OB=3,求直线l的方程已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向