作业帮棱长为a的正四面体中,有四个两两相切的球,且分别与正四面体的三个面相切,求这四个球的半径.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 04:28:31
棱长为a的正四面体中,有四个两两相切的球,且分别与正四面体的三个面相切,求这四个球的半径.
设四面体四个顶点分别是B、C、D、E,与四个顶点对应的球分别为b、c、d、e.
球心分别为B1、C1、D1、E1,设球的半径为r.
考虑球b与平面BCD的切点P的位置,根据对称性,P点必在∠CBD的平分线上.
下面来求BP的长度：
B1在点B到面CDE的高线上,它与BP的夹角α是二面角B-CD-E的余角.
二面角B-CD-E=arccos(1/3)【这个很容易算出,用向量法或截面法】
∴sinα=1/3
cotα=√[1/(sinα)^2-1]=2√2
∴BP=rcotα=(2√2)r
BP在BD上的投影长为BP*cos30°=(√6)r
同理,设球d与平面BCD的切点为Q,Q在BD上投影长度为(√6)r
∴球b与d之间的距离2r就是BD去掉两段投影的长度.
即：2r=a-2(√6)r
解得：r=a/[2(√6+1)]=(√6-1)a/10
即4球半径为(√6-1)a/10
球心分别为B1、C1、D1、E1,设球的半径为r.
考虑球b与平面BCD的切点P的位置,根据对称性,P点必在∠CBD的平分线上.
下面来求BP的长度：
B1在点B到面CDE的高线上,它与BP的夹角α是二面角B-CD-E的余角.
二面角B-CD-E=arccos(1/3)【这个很容易算出,用向量法或截面法】
∴sinα=1/3
cotα=√[1/(sinα)^2-1]=2√2
∴BP=rcotα=(2√2)r
BP在BD上的投影长为BP*cos30°=(√6)r
同理,设球d与平面BCD的切点为Q,Q在BD上投影长度为(√6)r
∴球b与d之间的距离2r就是BD去掉两段投影的长度.
即：2r=a-2(√6)r
解得：r=a/[2(√6+1)]=(√6-1)a/10
即4球半径为(√6-1)a/10
棱长为a的正四面体中,有四个两两相切的球,且分别与正四面体的三个面相切,求这四个球的半径.
正四面体ABCD得棱长为a,球O是其内切球,球O1是与正四面体得三个面和球O都相切的一个小球,求球O1得体积
在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内接球(与四个面都相切)
这是一道高二的立体几何的数学题：一个正四面体中放入半径为1的四个球,求这个正四面体的最小高度?
如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截
棱长为a的正四面体(侧棱长等于底面边长的三棱锥)ABCD的四个顶点均在同一个球面上,求此球的半径
正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切 求球的半径R和棱锥表面积
正三棱椎的高为1,底面边长为2根号6,有一个球与四个面都相切,求球的半径
已知正方体的八个定点中,有四个为一个正四面体的顶点,求此正四面体与正方体全面积之比
正方体八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点,则正方体的体积与正四面体的体积比为
正三棱锥高为一,底面边长2开根号6,内有一球与四个面都相切,求棱锥的全面积,球得半径及表面积
正四面体的四个顶点都在一个球面,且正四面体的高为4,则球的表面积为