已知 阶矩阵 满足 . (1) 证明 和 都可逆. (2) 求 可逆.

2题的解法一样 根据要证明可逆的矩阵凑积＝单位矩阵的多项式 2题过程如下图： 

为便于书写,用A'表示A的转置矩阵：令B=(A+A')/2,C=(A-A')/2,则A=B+C其中B是对称矩阵(B'=B)C是反对称矩阵(C'=-C)再问：看不懂再答：哪里看不懂再问：B=(A+A‘’

帮你证证看,答案稍等.解答如下：A*a1=-a1,A*a2=a2;A*a3=a2+a3反证法：假设三者线性相关,则存在k1,k2不全为0满足a3=k1*a1+k2*a2;所以A*a3=A*(k1*a1

证A可逆A²+A-3E=0A（A+E）=3EA（A+E）/3=E所以A可逆,且A的逆矩阵为（A+E）/3证A+2E可逆A²+A-3E=0（A+2E）（A-E）=E所以A+2E可逆,

移项：A^2=A+2E两边同乘以A^(-2)就得到：E=（A+2E)^A*(-2)

首先注意到A(A^{-1}+B^{-1})B=B+A,于是A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1},从而有(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A.

因为A^2(A-2E)=3A-11E所以A^3-2A^2-3A+11E=0所以A^2(A+2E)-4A(A+2E)+5(A+2E)+E=0所以(A^2-4A+5E)(A+2E)=E所以A+2E可逆,且

证明:因为A^2=A所以A(A-I)=0若detA≠0则A可逆.则A-I=A^-1A(A-I)=A^-10=0所以有A=I.故A=I或detA=0

(E+3A)(E-3A)=E-9A^2=E

移项使等号右边等于0提取公因式会有AX（A-1）=0出现的当然先要两边加绝对值吧

等式两边去行列式就行了,得到2个等式即为丨-E-A丨=0或者丨3E-A丨=0再根据矩阵的特征多项式丨λE-A丨=0即可看出A的特征值为-1或者3再问：为什么是只能？再答：如果它还有别的特征值比如说0，

这其实是个满秩分解的矩阵问题根据幂等矩阵的定理,若A为幂等矩阵,则存在一个可逆矩阵P使得（P-1）AP=E000E为单位矩阵,（P-1）为P的逆.则A=PE0(P-1)00令Q=E000因为对角矩阵是

(A-E)(A-E)T=AAT-AT-A+E=EAAT=A+ATATA=A+AT.(1)由题目要证明的可知A可逆(1)两边取逆矩阵A^(-1)(AT)(-1)=A^(-1)+[A^(-1)]T..(2

见图片

A^2=2A说明A的特征值只可能是0或者2,所以A-I的特征值就是1或-1再利用实对称阵正交相似于对角阵得到A-I是正交阵另一种做法是直接算出(A-I)(A-I)^T=I,但上面的方法也应该掌握

证明：同阶矩阵A,B说明A,B是nxn的方阵.所以有|AB|=|A|*|B|≠0得到|A|≠0且|B|≠0,即A,B都可逆.

A*A-A+I=0所以A*（A-I）=-I所以|A*（A-I）|=|A|*|A-I|=|A|*|I-A|=|-I|0所以|A|,|I-A|都不等于0,所以A和I-A都可逆

因为A^2-2A+2E=0,所以A(A-2E)=-2E所以A可逆,且A^-1=-1/2(A-2E).再由A^2-2A+2E=0A(A-3E)+(A-3E)+5E=0所以(A+E)(A-3E)=-5E所

由A^2-2A-4E=O得A(A-2E)=4E再问：还有呢？再答：所以A可逆,且A^-1=(1/4)(A-2E)再由A^2-2A-4E=O得A(A-3E)+(A-3E)-E=0所以(A+E)(A-3E

1.完全没难度,自己动手算2.假定A可逆,AB相似于A^{-1}(AB)A=BA就这么一个条件,都不知道试一下吗3.假定这里的正定是指Hermite正定（或者实对称正定）必要性：AB=BA=>AB=(