线性代数求大神：设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并求A^-1+B^-1的逆阵

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/04 16:20:20

线性代数求大神：设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并求A^-1+B^-1的逆阵
我能看懂以下答案,但是我不懂——它第一步咋得出来的?咋就能“首先注意到”,我就没注意到这样乘啊,求大神指示第一步咋想的T.T
首先注意到
A(A^{-1}+B^{-1})B=B+A,
于是
A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1},
从而有
(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A.

其实这已经很显然了,如果你实在想不出来按下面的方法试试
先考虑A,B都是数的情况,这时候比矩阵还多一个乘法交换律可用
通分可得1/A+1/B=(A+B)/(AB)
(这步做一下不亏的,至少来说这是1阶矩阵的结果,你最后做完的结果必须与此相容)
但是这里没有乘法交换律,那么做通分的时候不能像普通的数那样自由
我们仍然采用通分的思路,一步一步来
A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(I+AB^{-1})
接下来B^{-1}应该从右侧提取出来,得到
A^{-1}(I+AB^{-1})=A^{-1}(B+A)B^{-1}
这样做就行了

线性代数求大神：设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并求A^-1+B^-1的逆阵设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并求A^-1+B^-1的逆阵, 设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并写出（A^-1+B^-1)^-1, 设A,B为n阶可逆矩阵,且E+BA^-1可逆,证明E+A^-1B可逆,并求出其逆矩阵表示式. 设A,B为N阶矩阵,满足2(B^-1)A=A-4E,E为N阶单位矩阵,证明：B-2E为可逆矩阵,并求它的逆矩阵大学线性代数可逆矩阵设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵（A B)是可逆矩阵当且仅当A+B与A-B均为可逆矩阵B A 线性代数你矩阵若A,B均为n阶可逆矩阵,问A-B,AB,AB^(-1)是否一定为可逆矩阵?若不是,请举例说明B^(-1) 一道关于矩阵可逆性的证明题：n阶矩阵A,B和A+B都可逆,证明A^(-1)+B(-1)也可逆,并求其逆阵. 设A.B分别为m.n阶可逆矩阵,证明分块矩阵［O A/B O］可逆,并求逆设n阶方阵A,B,A^-1+B^-1均为可逆,证明A+B可逆,并求（A+B)^-1. 设A B 为n阶矩阵,且A B AB-I 可逆证明A-B的逆可逆设A B为n阶矩阵,且A B AB-I可逆,证明：A-（B的逆）可逆