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设常数a大于0,函数f(x)=x-ln2x+2alnx-1,求证当x大于1时恒有x大于ln2x-2alnx+1

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/07 16:58:14
设常数a大于0,函数f(x)=x-ln2x+2alnx-1,求证当x大于1时恒有x大于ln2x-2alnx+1
ln2x是lnx的平方的意思
证明:函数f(x)的导函数为f'(x)=1-(2lnx)/x+2a/x
对f'(x)再求导得f''(x)=-2a/x²-(2-lnx)/x²=(lnx-2a-2)/x²
所以在{1,e^(2a+2)},f''(x)<0;x>e^(2a+2),f''(x)>0
所以在x>1,x=e^(2a+2),f'(x)取得最小值
f'(x)≥f'(e^(2a+2))>0
所以f(x)为增函数
f(1)=1-0+0-1=0
所以当x>1时f(x)>f(1)=0
得证当x大于1时恒有x大于ln2x-2alnx+1