牛顿——莱布尼茨公式
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/23 08:40:33
牛顿——莱布尼茨公式
若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且
b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式.
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程:
我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:
b(上限)∫a(下限)f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数:
Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了:
Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质:
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数.
证明:我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x)+C=F(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以F(a)=C
于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b)=F(b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.
b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式.
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程:
我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:
b(上限)∫a(下限)f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数:
Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了:
Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质:
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数.
证明:我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x)+C=F(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以F(a)=C
于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b)=F(b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.
牛顿-莱布尼茨公式是什么?
积分中值定理用牛顿—莱布尼茨公式能证明吗?
用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分
利用牛顿莱布尼茨公式求定积分
莱布尼茨公式是什么?莱布尼茨公式求高阶导数怎么求呢?是莱布尼茨公式,不是牛顿-莱布尼茨公式。- -
想问下如何证明在区间上可积但不连续的被积函数满足牛顿—莱布尼茨公式呢?
大一高数,利用牛顿-莱布尼茨公式计算积分
高数 牛顿莱布尼茨公式的一个问题
牛顿莱布尼茨公式可导函数不连续的证明
解释一下牛顿-莱布尼茨定理?
不是牛顿-莱布尼茨公式,是那个求高阶导数的公式,里面的C是什么?怎么求
如何用定积分求面积刚看了定积分,里面有个不懂的牛顿—莱布尼茨公式∫ a_b(f(x) dx ) = F(a)-F(b)那