重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.一定要用向量证法!求证明!

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/16 13:00:25

重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.一定要用向量证法!求证明!
一定要用向量证法!求证明!不要解析几何法!

设 G 是三角形 ABC 的重心,P 是平面上任一点,
则 |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2
=|PG+GA|^2+|PG+GB|^2+|PG+GC|^2
=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2(PG*GA+PG*GB+PG*GC)
=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2PG*(GA+GB+GC)
=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2PG*0（GA+GB+GC=0 向量,这是重心的充要条件）
=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)
>=|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2 ,
当且公当 |PG|=0 即 P 与 G 重合时,P 到三角形 ABC 的距离的平方和最小.

重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.一定要用向量证法!求证明! 如何证明重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点? 如何证明“三角形的重心到三个顶点的距离平方和最小”这个定理? 证明重心到三角形的三顶点的距离平方和最小求三角形的重心到三个顶点距离的平方和为什么三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点如何求证三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点利用结论,证明：三角形顶点到重心的距离,等于重心到对边中点的距离的2倍用高一向量知识,证明在一个三角形内,与重心相连接的三个顶点,这三条向量的和为零向量.（用几何方法证~ 三角形三个顶点在平面a的同一侧,三个顶点到平面的距离和为30,求这个三角形的重心到平面a的距离向量法证明三角形重心与顶点连线的三个三角形的面积比三角形重心到三条边的距离与三角形三条边的长成反比是什么意思?三角形重心到三个顶点距离的平方和最小又是什么意思?