设V是复数域C上的n维线性空间,φ是V的线性变换,求证：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 05:17:25

设V是复数域C上的n维线性空间,φ是V的线性变换,求证：
存在φ-不变子空间V0,V1,…Vn,使得 V0⊂V1⊂…⊂Vn且dimVi=i,1≦i≦n

应用一个小引理就好：
如果一个线性变换A能在基{a1,...,am,...,an}下写成
(A11 A12
0 A22)
A11是m*m的矩阵块,A22,(n-m)*(n-m).
那么有,W=V(a1,...,am)是A的不变子空间.
证明是挺简单,
A(ai)必然是a1-am的线性组合,a(m+1)-an的系数是0；
故,如果a是a1,...,am的线性组合,则A(a)是a1,...,am的线性组合,与a(m+1)-an无关.
所以必然是不变子空间.
用这个引理,+任意复方阵可以上三角化,
得到结论,
任意复线性变换,存在一组基a1-an,在这组基下的矩阵是上三角形.
这样,加引理得到,
空间Vi=V(a1,...,ai)是i维不变子空间.
大姐,您大人大量,给个采纳吧!这可是我的首秀啊!
再问：哈哈…看懂了，多谢啦~

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