设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 20:25:59
设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.
焦点(p,0)
若AB斜率不存在,则AB是x=p
则y^2=4p^2
y=2p,-2p
所以m=2p,n=|-2p|=2p
则1/m+1/n=1/p
若斜率存在
则是y-0=k(x-p)
y=kx-kp
代入
k^2x^2-(4p+2k^2p)x+k^2p^2=0
x1+x2=(4p+2k^2p)/k^2
x1x2=p^2
准线x=-p
由抛物线定义,抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以m=AF=A到准线距离=x1-(-p)=x1+p
同理,n=x2+p
m+n=x1+x2+2p=(4p+2k^2p)/k^2+2p=(4p+4k^2p)/k^2
mn=(x1+p)(x2+p)=x1x2+p(x1+x2)+p^2=(4p^2+4p^2k^2)/k^2
所以1/m+1/n=(m+n)/mn
=(4p+4k^2p)/(4p^2+4p^2k^2)
=1/p
斜率不存在时也等于1/p
所以1/m+1/n=1/p,是个定值
若AB斜率不存在,则AB是x=p
则y^2=4p^2
y=2p,-2p
所以m=2p,n=|-2p|=2p
则1/m+1/n=1/p
若斜率存在
则是y-0=k(x-p)
y=kx-kp
代入
k^2x^2-(4p+2k^2p)x+k^2p^2=0
x1+x2=(4p+2k^2p)/k^2
x1x2=p^2
准线x=-p
由抛物线定义,抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以m=AF=A到准线距离=x1-(-p)=x1+p
同理,n=x2+p
m+n=x1+x2+2p=(4p+2k^2p)/k^2+2p=(4p+4k^2p)/k^2
mn=(x1+p)(x2+p)=x1x2+p(x1+x2)+p^2=(4p^2+4p^2k^2)/k^2
所以1/m+1/n=(m+n)/mn
=(4p+4k^2p)/(4p^2+4p^2k^2)
=1/p
斜率不存在时也等于1/p
所以1/m+1/n=1/p,是个定值
已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB被焦点F分成长为m,n的两部分,求证:1/m+1/
抛物线的证明题已知抛物线y的平方=2px的一条过焦点的弦被焦点分成长为m,n的两段.求证:m分之1+n分之1=p分之2.
已知AB是抛物线y^2 =2px (p>0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB背焦点F分成长为m,n的两部分
已知抛物线y^2=4x的一条焦点弦被焦点分成长为m,n的两部分久,求证1/m+1/n为定数.
已知抛物线y^2=4x,过焦点的弦A,B被焦点分成长为m,n(m≠n)的两段,那么()
抛物线问题AB为过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F的弦,M为AB中点,l是抛物线的准线 ,MN⊥l ,N为垂足,求证
抛物线y^2=2px的焦点弦AB中点为M,A,B,M在准线上的射影分别为C,D,N,求证:
抛物线y^2=2px(p>0),设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,F为焦点,求证∠AMF=∠BMF.
设抛物线y^2=2px(p>0),(1)求证.过焦点F倾斜角为a的弦长为2p/sin^2a.(2) 如果他的动弦AB长为
已知l为抛物线y^2=2px(p>0)的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB的中点,过M做直线l的垂线,垂足是N,MN交抛
已知l为抛物线y2=2px(p>0)的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB中点,过M做直线L的垂线,垂足为N交抛物线与点P
已知抛物线方程为y2=2px(p>0),直线l:x+y=m过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3,求p的值.